これまでのまとめ
5ページにわたってクリストッフェル記号の計算をした。0になってしまうものをたくさんあったが、0にならなかったものについてまとめて記載しておく。今回は本当にただのまとめなのでなにも計算はしない。
計算したのは、
\[ds^2=c^2K(r)dt^2 + L(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{0}\]
という球対称な計量に対するクリストッフェル記号だった。その結果が以下だ。
\[\begin{align}
\Gamma^0_{~01}&=\Gamma^0_{~10}= \frac{K'(r)}{2K(r)} \tag{1}\\\\
\Gamma^1_{~00} &= -\frac{K'(r)}{2L(r)} \tag{2}\\\\
\Gamma^1_{~11} &= \frac{L'(r)}{2L(r)} \tag{3}\\\\
\Gamma^1_{~22} &= -\frac{r}{L(r)} \tag{4}\\\\
\Gamma^1_{~33} &= -\frac{r\sin^2\theta}{L(r)} \tag{5}\\\\
\Gamma^2_{~12}&= \Gamma^2_{~21} = \frac{1}{r} \tag{6}\\\\
\Gamma^2_{~33}&=-\sin\theta\cos\theta \tag{7}\\\\
\Gamma^3_{~31} &= \Gamma^3_{~13}= \frac{1}{r} \tag{8}\\\\
\Gamma^3_{~32} &= \Gamma^3_{~23}= \cot\theta \tag{9}
\end{align}\]
一応下にそれぞれの導出のページを書いておいた。
いやはや、この計算はほんとに疲れた。
これからやること
シュバルツシルト解の導出(1)であげたステップはこうだった。
(1) クリストッフェル記号を頑張る。
(2) 曲率テンソルからリッチテンソルが出る。
(3) でたリッチテンソルをアインシュタイン方程式に代入する。
(4) 代入するとK,Lに関する連立微分方程式がでるからそれを解く。
こんなに計算したのに、4ステップのうちの一つしか進んでない。どういうことだ。
ということで、次からは、(2)の曲率テンソル・リッチテンソルを計算していく。しっかし、これを戦場で計算したシュバルツシルトという人はどういう精神構造をしてたのだろうと不思議になる。