クリストッフェル記号の計算
前回の(2), (7), (8)式を(2b),(7b),(8b)として再掲する。(2b),(8b)式はシュバルツシルト解の仮定であった。
\[ds^2=c^2K(r)dt^2 + L(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{2b}\]
\[\Gamma^i_{~jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{7b}\]
\[g_{00} = K(r), ~~g_{11} = L(r), ~~ g_{22} = r^2, ~~g_{33}=r^2\sin^2\theta \tag{8b}\]
ということで地道に計算していこう。\(g_{ij}\)は対角成分しか持たないのがせめてもの救いだ。今回はちょっと長いがまあそういう計算だししょうがない。
まずは\(\Gamma^0_{~jk}\)から
\[\Gamma^0_{~jk} = \frac{1}{2} g^{0l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\]
この式の中の\(l\)という添字はアインシュタインの省略記法を採用しており、本当は、
\[\Gamma^0_{~jk} = \sum_{l=0}^{3}\frac{1}{2} g^{0l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \]
というシグマ記号が隠れているのだった。で、いま\(g_{ij}\)は対角成分しか持たないのだから、当然その逆行列である\(g^{ij}\)も対角成分しか持たない。だから、和の最初に\(g^{01},~g^{02},~g^{03}\)がかかってくる\(l=1,2,3\)の項は全て消えてしまう。よって、(1)式は、
\[\Gamma^0_{~jk} = \frac{1}{2} g^{00} \left(\frac{\partial g_{0j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^0}\right) \tag{2}\]
となる。さらに、シュバルツシルト解では静的な時空を条件としていて、計量テンソルはどれも時間変数\(x^0\)には依存しないのだった。したがって、カッコの中の最後の項は消えて、
\[\Gamma^0_{~jk} = \frac{1}{2} g^{00} \left(\frac{\partial g_{0j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^j}\right) \tag{3}\]
まああとは具体的に代入していくしかないだろう。順に計算していく。しかし、一番上の(7)式をみればわかるように、クリストッフェル記号には\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)という対称性があるから少し楽はできなくもない。
まずは0になるやつから考えていこう。偏微分が0になるような変数を考えれば簡単だ。さっきも言ったが、第0変数\(x^0\)の微分は0、(8b)式を見ればわかるように\(x^3\)による微分も0である。だから、j=0,3、k=0,3の組み合わせのやつは消えてしまう。
\[\Gamma^0_{~00}=\Gamma^0_{~03}=\Gamma^0_{~30}=\Gamma^0_{~33}=0 \tag{4}\]
あとは\(g_{00}\)が対角成分のみを持つことを考えて、jかkのどちらかが0でなければ(3)式は0である。よって、
\[\begin{align}\Gamma^0_{~11}=\Gamma^0_{~12}=\Gamma^0_{~21}=\Gamma^0_{~13}&=\\\Gamma^0_{~31}=
\Gamma^0_{~22}=\Gamma^0_{~23}=\Gamma^0_{~32}&=0 \end{align}\tag{5}\]
もいえる。ほとんど0じゃないか！
あと残りは\(\Gamma^0_{10}=\Gamma^0_{01},\Gamma^0_{02}=\Gamma^0_{20}\)だけである。具体的に計算すればよい。
\[\begin{align}
\Gamma^0_{~01} &= \frac{1}{2} g^{00} \left(\frac{\partial g_{00}}{\partial x^1} +\frac{\partial g_{01}}{\partial x^0}\right) \\\\
&= \frac{1}{2} g^{00} \frac{\partial g_{00}}{\partial x^1}\\\\
&= \frac{K'(r)}{2K(r)}
\end{align} \tag{6}\]
\[\begin{align}
\Gamma^0_{~02} &= \frac{1}{2} g^{00} \left(\frac{\partial g_{00}}{\partial x^2} +\frac{\partial g_{02}}{\partial x^0}\right) \\\\
&= \frac{1}{2} g^{00} \frac{\partial g_{00}}{\partial x^2}\\\\
&= \frac{1}{2} g^{00} \frac{\partial K(r)}{\partial \theta} \\\\
&= 0
\end{align} \tag{7}\]
ということで、得られた結果は、
\[\Gamma^0_{~01}=\Gamma^0_{~10}= \frac{K'(r)}{2K(r)},~~\Gamma^0_{~jk}=0 (左以外のとき)\]
だ。
次は\(\Gamma^1_{~jk}\)
\[\Gamma^1_{~jk}=\frac{1}{2} g^{1l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\]
対角成分である\(g^{11}\)以外は0なので、
\[
\Gamma^1_{~jk}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{1j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^1}\right)
\tag{2}\]
とできる。前回は最後の偏微分が\(x^0\)によるものだったので、それを消せてここからさらに簡単にできたが、今回はそうはいかない。ここからは具体的に考えていこう。
どこからやるか迷うが、順番に攻めていく。
まずj=0の場合。
j=0のとき(2)式は、
\[
\Gamma^1_{~0k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{10}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^1}\right)
\tag{3}\]
となる。静的な時空では、\(x^0\)による偏微分は0、また、\(g_{10}\)は対角成分でないので0である。よって
\[
\Gamma^1_{~0k}=-\frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^1}
\tag{4}\]
\(g_{0k}\)はk=0以外では0である。したがって、
\[\begin{align}
\Gamma^1_{~0k} &= 0 ~~(k\neq0) \\
\Gamma^1_{~00} &= -\frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^1} \\\\
&= -\frac{1}{2} \frac{1}{L(r)}\frac{\partial K(r)}{\partial r} \\\\
&= -\frac{K'(r)}{2L(r)}
\end{align}\tag{5}\]
となる。
j=1の場合
j=1のとき(2)式は、
\[
\Gamma^1_{~1k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{11}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^1}-\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^1}\right)
\tag{6}\]
これをみると\(\Gamma^1_{~1k}\)はk=1以外では0になってしまうことがわかる。k=0のときは最初の偏微分が0、さらに\(g_{10}=0\)なのでその後の項も0になる。k=2のとき、k=3のときも同じである。よって、
\[\begin{align}
\Gamma^1_{~1k} &= 0 ~~(k\neq1) \\
\Gamma^1_{~11} &= \frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} +\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1}-\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} \right)\\\\
&= \frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} \\\\
&= \frac{1}{2} \frac{1}{L(r)}\frac{\partial L(r)}{\partial r} \\\\
&= \frac{L'(r)}{2L(r)}
\end{align}\tag{7}\]
となる。まだまだ続くぞ。
j=2の場合
まずは書き下すと、
\[
\Gamma^1_{~2k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{12}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^1}\right)
\tag{2}\]
\(g_{12}=0\)なので、
\[\Gamma^1_{~2k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^1}\right)\tag{3}\]
(3)式はk=0,3のときは明らかに0になる。
ではk=1のときはどうなるか。実は前回\(\Gamma^1_{~12}=0\)を計算したから、すでに出せている。どういうことかというと、クリストッフェル記号の一般的な対称性\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)を使えば、\(\Gamma^1_{~21}=\Gamma^1_{~12}=0\)となる。
k=2のときは
\[\begin{align}
\Gamma^1_{~22}&=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{12}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}\right) \\\\
&=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1} \\\\
&=-\frac{1}{2}\frac{1}{L(r)}\frac{\partial r^2}{\partial r} \\\\
&=-\frac{r}{L(r)} \tag{4}
\end{align}\]
となる。これでj=2は終わりだ。
j=3の場合
\[\Gamma^1_{~3k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{13}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^3}-\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^1}\right)\tag{5}\]
第一項は\(g_{13}=0\)で消えて、第二項は計量テンソルで\(x^3(=\phi)\)が含まれているものは無いので0である。
第三項はk=3のときのみ0でないから、k=0～3の中で\(\Gamma^1_{~3k}\)が0でないのはk=3のときだけだ。だからこれだけを計算すればよい！
\[\begin{align}
\Gamma^1_{~33}&=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^1}\\\\
&= -\frac{1}{2}\frac{1}{L(r)}\frac{\partial (r^2\sin^2\theta)}{\partial r} \\\\
&= -\frac{r\sin^2\theta}{L(r)} \tag{6}
\end{align}\]
ということでこれでとりあえず一段落。
\(\Gamma^1_{~jk}\)のまとめ
とりあえず、\(\Gamma^1_{~jk}\)が求め終わったので0でないものだけまとめておく。
\[\left\{\begin{align}
\Gamma^1_{~00} &= -\frac{K'(r)}{2L(r)} \\
\Gamma^1_{~11} &= \frac{L'(r)}{2L(r)} \\
\Gamma^1_{~22} &= -\frac{r}{L(r)} \\
\Gamma^1_{~33} &= -\frac{r\sin^2\theta}{L(r)}
\end{align}\right.\]
とまあこんなところだ。数字が揃った項だけが残った。
次は\(\Gamma^2_{~jk}\)
毎度のことだがまずは書き下す。
\[\Gamma^2_{~jk} = \frac{1}{2} g^{2l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\]
で、
\(\Gamma^0_{~ij}\)を計算した時と同じように、\(l=2\)以外で0だから、
\[\Gamma^2_{~jk} = \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{2j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^2}\right) \tag{2}\]
というふうにする。さて、前と同じようにjで場合分けして考えていこう。
j=0のとき
(2)式をもとにちょっと考えれば全部0であることがすぐにわかる。
まず第一項は\(g_{20}\)が0だから0だな。
それに第二項は\(x^0\)によって変化する計量テンソルは無いから0。
あとは第三項だが\(g_{0k}\)のなかで値があるのはk=0だけ。しかもそれは\(r=x^1\)だけの関数だから\(x^2\)による偏微分は0。
ということでこれは全部0だ。
j=1のとき
まずは簡単にする。
(2)式で第一項は\(g_{21}\)が0だから消える。第三項は\(g_{1k}\)の中で0でないのは\(g_{11}\)だけだが、これは\(r=x^1\)だけの関数だから\(x^2\)による偏微分は0。
と、いうわけで、
\[\Gamma^2_{~1k} = \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{2k}}{\partial x^j}\tag{3}\]
となる。さらに計算を進めるが、これはk=2でのみ値が0でないから、k=2のときだけ考える。
\[\begin{align}
\Gamma^2_{~12} &= \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{22}}{\partial x^1} \\\\
&=\frac{1}{2} \frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2}{\partial r} \\\\
&=\frac{1}{r} \tag{4}
\end{align}\]
となる。ついでに\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)という対称性から、\(\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r}\)もいえる。
j=2のとき
このとき(2)式は、
\[\begin{align}
\Gamma^2_{~2k} &= \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{22}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^2}\right) \\\\
&= \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{22}}{\partial x^k}\tag{5}\end{align}\]
となる。もう簡単だろう。\(g_{22}=r^2\)だからk=1のときのみ(5)は0じゃない。で、その結果はうえで対称性からわかったように、
\[\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r} \tag{6}\]
となる。
j=3のとき
この場合は実質k=3のときのみを計算すればよい。なぜなら、\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)という対称性から、\(\Gamma^2_{30}=\Gamma^2_{03}=0, \Gamma^2_{31}=\Gamma^2_{13}=0,\Gamma^2_{32}=\Gamma^2_{23}=0\)がすでに言えているからだ。
で、やってみると、
\[\begin{align}
\Gamma^2_{~33} &= \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{23}}{\partial x^3} +\frac{\partial g_{23}}{\partial x^3}-\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2}\right) \\\\
&= -\frac{1}{2} g^{22}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2} \\\\
&= -\frac{1}{2} \frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2\sin^2\theta}{\partial \theta} \\\\
&= -\sin\theta\cos\theta \tag{7}
\end{align} \]
というふうに計算できる。
\(\Gamma^2_{~jk}\)をまとめておく
いちおうこれで一区切り。とりあえず0でなかったものをまとめておく。
\[\left\{\begin{align}
\Gamma^2_{12}&= \Gamma^2_{21} = \frac{1}{r} \\
\Gamma^2_{33}&=-\sin\theta\cos\theta
\end{align}\right.\]
だった。
\(\Gamma^3_{~jk}\)を書き下す
まずは書き下さないとな。
\[\Gamma^3_{~jk} = \frac{1}{2} g^{3l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\]
となるが、
\(\Gamma^0_{~ij}\)を計算した時と同じように、\(g^{ij}\)には対角成分しか無いので、(1)は\(l=3\)として良くて、
\[\Gamma^3_{~jk} = \frac{1}{2} g^{33} \left(\frac{\partial g_{3j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^3}\right) \tag{2}\]
というふうになる。で(8b)式をみればわかるように、\(g_{ij}\)の中に\(x^3=\phi\)によって変化するものは無いから、第三項の\(x^3\)による偏微分は0になる。よって、
\[\Gamma^3_{~jk} = \frac{1}{2} g^{33} \left(\frac{\partial g_{3j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^j}\right) \tag{3}\]
とかけるというわけだ。だいぶ簡単になった。
(3)式が0にならない条件を考えていこう。カッコの中の、\(g_{3j},~g_{3k}\)が0でないのはjやkが3の時だけである。しかし、j=k=3になってしまったら偏微分がどちらも\(x^3\)になってしまうから、この時は0になってしまう。
したがって、jかkのどちらか一方のみが3でなくては(3)式は0になる。さらに\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)となるという対称性を考えると、とりあえず(3)式でj=3としてしまっても全ての0でない値がわかるだろう。だから、いまから計算するのは、
\[\begin{align}
\Gamma^3_{~3k} &= \frac{1}{2} g^{33} \left(\frac{\partial g_{33}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^3}\right) \\\\
&= \frac{1}{2} g^{33} \frac{\partial g_{33}}{\partial x^k}\\\\
&= \frac{1}{2} \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial x^k}(r^2\sin^2\theta)\tag{4}
\end{align}\]
である。一行目から二行目は\(x^3\)による微分が0になることを使った。
結局(4)式のように簡単になったわけだが、(4)式の偏微分が0でないのは、k=1,2のとき(すなわち\(r,\theta\)による微分のとき)だけだ。だから、
\[\begin{align}
\Gamma^3_{~31} &= \frac{1}{2} \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\sin^2\theta) \\
&= \frac{1}{r}\\\\
\Gamma^3_{~32} &= \frac{1}{2} \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(r^2\sin^2\theta) \\
&= \cot\theta
\end{align}\tag{5}\]
\(\Gamma^3_{~jk}\)のまとめ
ということで、これで\(\Gamma^3_{~jk}\)が全て求まった。(5)式に\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)を適用して、
\[\left\{\begin{align}
\Gamma^3_{~31} &= \Gamma^3_{~13}= \frac{1}{r}\\\\
\Gamma^3_{~32} &= \Gamma^3_{~23}= \cot\theta
\end{align}\right.\tag{6}\]
となり、これ以外は全て0である。
これでやっとクリストッフェル記号の計算が終わった!!次回はとりあえずこの結果をまとめておく。長くなって申し訳ない。