続々々々・クリストッフェル記号の計算
まだまだまだまだクリストッフェル記号の計算が続く。疲れてしまうが頑張る。でも多分今回でおわりだぞ。
シュバルツシルト解の導出(1)の(2), (7), (8)式を(2b),(7b),(8b)として再掲する。(2b),(8b)式はシュバルツシルト解の仮定であった。
\[ds^2=c^2K(r)dt^2 + L(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{2b}\]
\[\Gamma^i_{~jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{7b}\]
\[g_{00} = K(r), ~~g_{11} = L(r), ~~ g_{22} = r^2, ~~g_{33}=r^2\sin^2\theta \tag{8b}\]
今回は\(\Gamma^3_{~jk}\)を計算する。
\(\Gamma^3_{~jk}\)を書き下す
まずは書き下さないとな。
\[\Gamma^3_{~jk} = \frac{1}{2} g^{3l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\]
となるが、
\(\Gamma^0_{~ij}\)を計算した時と同じように、\(g^{ij}\)には対角成分しか無いので、(1)は\(l=3\)として良くて、
\[\Gamma^3_{~jk} = \frac{1}{2} g^{33} \left(\frac{\partial g_{3j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^3}\right) \tag{2}\]
というふうになる。で(8b)式をみればわかるように、\(g_{ij}\)の中に\(x^3=\phi\)によって変化するものは無いから、第三項の\(x^3\)による偏微分は0になる。よって、
\[\Gamma^3_{~jk} = \frac{1}{2} g^{33} \left(\frac{\partial g_{3j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^j}\right) \tag{3}\]
とかけるというわけだ。だいぶ簡単になった。
(3)式が0にならない条件を考えていこう。カッコの中の、\(g_{3j},~g_{3k}\)が0でないのはjやkが3の時だけである。しかし、j=k=3になってしまったら偏微分がどちらも\(x^3\)になってしまうから、この時は0になってしまう。
したがって、jかkのどちらか一方のみが3でなくては(3)式は0になる。さらに\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)となるという対称性を考えると、とりあえず(3)式でj=3としてしまっても全ての0でない値がわかるだろう。だから、いまから計算するのは、
\[\begin{align}
\Gamma^3_{~3k} &= \frac{1}{2} g^{33} \left(\frac{\partial g_{33}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^3}\right) \\\\
&= \frac{1}{2} g^{33} \frac{\partial g_{33}}{\partial x^k}\\\\
&= \frac{1}{2} \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial x^k}(r^2\sin^2\theta)\tag{4}
\end{align}\]
である。一行目から二行目は\(x^3\)による微分が0になることを使った。
結局(4)式のように簡単になったわけだが、(4)式の偏微分が0でないのは、k=1,2のとき(すなわち\(r,\theta\)による微分のとき)だけだ。だから、
\[\begin{align}
\Gamma^3_{~31} &= \frac{1}{2} \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\sin^2\theta) \\
&= \frac{1}{r}\\\\
\Gamma^3_{~32} &= \frac{1}{2} \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(r^2\sin^2\theta) \\
&= \cot\theta
\end{align}\tag{5}\]
\(\Gamma^3_{~jk}\)のまとめ
ということで、これで\(\Gamma^3_{~jk}\)が全て求まった。(5)式に\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)を適用して、
\[\left\{\begin{align}
\Gamma^3_{~31} &= \Gamma^3_{~13}= \frac{1}{r}\\\\
\Gamma^3_{~32} &= \Gamma^3_{~23}= \cot\theta
\end{align}\right.\tag{6}\]
となり、これ以外は全て0である。
これでやっとクリストッフェル記号の計算が終わった!!次回はとりあえずこの結果をまとめておく。