続々々・クリストッフェル記号の計算
まだまだまだクリストッフェル記号の計算が続く。疲れてしまうが頑張る。
シュバルツシルト解の導出(1)の(2), (7), (8)式を(2b),(7b),(8b)として再掲する。(2b),(8b)式はシュバルツシルト解の仮定であった。
\[ds^2=c^2K(r)dt^2 + L(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{2b}\]
\[\Gamma^i_{~jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{7b}\]
\[g_{00} = K(r), ~~g_{11} = L(r), ~~ g_{22} = r^2, ~~g_{33}=r^2\sin^2\theta \tag{8b}\]
今回は\(\Gamma^2_{~jk}\)を計算する。
\(\Gamma^2_{~jk}\)を書き下す
毎度のことだがまずは書き下す。
\[\Gamma^2_{~jk} = \frac{1}{2} g^{2l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\]
で、
\(\Gamma^0_{~ij}\)を計算した時と同じように、\(l=2\)以外で0だから、
\[\Gamma^2_{~jk} = \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{2j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^2}\right) \tag{2}\]
というふうにする。さて、前と同じようにjで場合分けして考えていこう。
j=0のとき
(2)式をもとにちょっと考えれば全部0であることがすぐにわかる。
まず第一項は\(g_{20}\)が0だから0だな。
それに第二項は\(x^0\)によって変化する計量テンソルは無いから0。
あとは第三項だが\(g_{0k}\)のなかで値があるのはk=0だけ。しかもそれは\(r=x^1\)だけの関数だから\(x^2\)による偏微分は0。
ということでこれは全部0だ。
j=1のとき
まずは簡単にする。
(2)式で第一項は\(g_{21}\)が0だから消える。第三項は\(g_{1k}\)の中で0でないのは\(g_{11}\)だけだが、これは\(r=x^1\)だけの関数だから\(x^2\)による偏微分は0。
と、いうわけで、
\[\Gamma^2_{~1k} = \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{2k}}{\partial x^j}\tag{3}\]
となる。さらに計算を進めるが、これはk=2でのみ値が0でないから、k=2のときだけ考える。
\[\begin{align}
\Gamma^2_{~12} &= \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{22}}{\partial x^1} \\\\
&=\frac{1}{2} \frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2}{\partial r} \\\\
&=\frac{1}{r} \tag{4}
\end{align}\]
となる。ついでに\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)という対称性から、\(\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r}\)もいえる。
j=2のとき
このとき(2)式は、
\[\begin{align}
\Gamma^2_{~2k} &= \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{22}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^2}\right) \\\\
&= \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{22}}{\partial x^k}\tag{5}\end{align}\]
となる。もう簡単だろう。\(g_{22}=r^2\)だからk=1のときのみ(5)は0じゃない。で、その結果はうえで対称性からわかったように、
\[\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r} \tag{6}\]
となる。
j=3のとき
この場合は実質k=3のときのみを計算すればよい。なぜなら、\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)という対称性から、\(\Gamma^2_{30}=\Gamma^2_{03}=0, \Gamma^2_{31}=\Gamma^2_{13}=0,\Gamma^2_{32}=\Gamma^2_{23}=0\)がすでに言えているからだ。
で、やってみると、
\[\begin{align}
\Gamma^2_{~33} &= \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{23}}{\partial x^3} +\frac{\partial g_{23}}{\partial x^3}-\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2}\right) \\\\
&= -\frac{1}{2} g^{22}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2} \\\\
&= -\frac{1}{2} \frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2\sin^2\theta}{\partial \theta} \\\\
&= -\sin\theta\cos\theta \tag{7}
\end{align} \]
というふうに計算できる。
\(\Gamma^2_{~jk}\)をまとめておく
いちおうこれで一区切り。とりあえず0でなかったものをまとめておく。
\[\left\{\begin{align}
\Gamma^2_{12}&= \Gamma^2_{21} = \frac{1}{r} \\
\Gamma^2_{33}&=-\sin\theta\cos\theta
\end{align}\right.\]
だった。やっと次回でクリストッフェル記号の計算がおわりそうだ。。。疲れてきたぞ。