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シュバルツシルト解の導出(5)


続々々・クリストッフェル記号の計算

まだまだまだクリストッフェル記号の計算が続く。疲れてしまうが頑張る。

シュバルツシルト解の導出(1)の(2), (7), (8)式を(2b),(7b),(8b)として再掲する。(2b),(8b)式はシュバルツシルト解の仮定であった。 \[ds^2=c^2K(r)dt^2 + L(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{2b}\] \[\Gamma^i_{~jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{7b}\] \[g_{00} = K(r), ~~g_{11} = L(r), ~~ g_{22} = r^2, ~~g_{33}=r^2\sin^2\theta \tag{8b}\] 今回は\(\Gamma^2_{~jk}\)を計算する。

\(\Gamma^2_{~jk}\)を書き下す

毎度のことだがまずは書き下す。 \[\Gamma^2_{~jk} = \frac{1}{2} g^{2l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\] で、\(\Gamma^0_{~ij}\)を計算した時と同じように、\(l=2\)以外で0だから、 \[\Gamma^2_{~jk} = \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{2j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^2}\right) \tag{2}\] というふうにする。さて、前と同じようにjで場合分けして考えていこう。

j=0のとき

(2)式をもとにちょっと考えれば全部0であることがすぐにわかる。

まず第一項は\(g_{20}\)が0だから0だな。

それに第二項は\(x^0\)によって変化する計量テンソルは無いから0。

あとは第三項だが\(g_{0k}\)のなかで値があるのはk=0だけ。しかもそれは\(r=x^1\)だけの関数だから\(x^2\)による偏微分は0。

ということでこれは全部0だ。

j=1のとき

まずは簡単にする。

(2)式で第一項は\(g_{21}\)が0だから消える。第三項は\(g_{1k}\)の中で0でないのは\(g_{11}\)だけだが、これは\(r=x^1\)だけの関数だから\(x^2\)による偏微分は0。

と、いうわけで、 \[\Gamma^2_{~1k} = \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{2k}}{\partial x^j}\tag{3}\] となる。さらに計算を進めるが、これはk=2でのみ値が0でないから、k=2のときだけ考える。 \[\begin{align} \Gamma^2_{~12} &= \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{22}}{\partial x^1} \\\\ &=\frac{1}{2} \frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2}{\partial r} \\\\ &=\frac{1}{r} \tag{4} \end{align}\] となる。ついでに\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)という対称性から、\(\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r}\)もいえる。

j=2のとき

このとき(2)式は、 \[\begin{align} \Gamma^2_{~2k} &= \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{22}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^2}\right) \\\\ &= \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{22}}{\partial x^k}\tag{5}\end{align}\] となる。もう簡単だろう。\(g_{22}=r^2\)だからk=1のときのみ(5)は0じゃない。で、その結果はうえで対称性からわかったように、 \[\Gamma^2_{21}=\frac{1}{r} \tag{6}\] となる。

j=3のとき

この場合は実質k=3のときのみを計算すればよい。なぜなら、\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)という対称性から、\(\Gamma^2_{30}=\Gamma^2_{03}=0, \Gamma^2_{31}=\Gamma^2_{13}=0,\Gamma^2_{32}=\Gamma^2_{23}=0\)がすでに言えているからだ。

で、やってみると、 \[\begin{align} \Gamma^2_{~33} &= \frac{1}{2} g^{22} \left(\frac{\partial g_{23}}{\partial x^3} +\frac{\partial g_{23}}{\partial x^3}-\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2}\right) \\\\ &= -\frac{1}{2} g^{22}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^2} \\\\ &= -\frac{1}{2} \frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2\sin^2\theta}{\partial \theta} \\\\ &= -\sin\theta\cos\theta \tag{7} \end{align} \] というふうに計算できる。

\(\Gamma^2_{~jk}\)をまとめておく

いちおうこれで一区切り。とりあえず0でなかったものをまとめておく。 \[\left\{\begin{align} \Gamma^2_{12}&= \Gamma^2_{21} = \frac{1}{r} \\ \Gamma^2_{33}&=-\sin\theta\cos\theta \end{align}\right.\] だった。やっと次回でクリストッフェル記号の計算がおわりそうだ。。。疲れてきたぞ。