続々・クリストッフェル記号の計算
まだまだクリストッフェル記号の計算が続く。疲れてしまうが頑張る。
シュバルツシルト解の導出(1)の(2), (7), (8)式を(2b),(7b),(8b)として再掲する。(2b),(8b)式はシュバルツシルト解の仮定であった。
\[ds^2=c^2K(r)dt^2 + L(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{2b}\]
\[\Gamma^i_{~jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{7b}\]
\[g_{00} = K(r), ~~g_{11} = L(r), ~~ g_{22} = r^2, ~~g_{33}=r^2\sin^2\theta \tag{8b}\]
今回は前回の続きで\(\Gamma^1_{~jk}\)のj=2,3の場合を計算する。
\[
\Gamma^1_{~jk}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{1j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^1}\right)
\tag{1}\]
とかけるのだった。
j=2の場合
まずは書き下すと、
\[
\Gamma^1_{~2k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{12}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^1}\right)
\tag{2}\]
\(g_{12}=0\)なので、
\[\Gamma^1_{~2k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{2k}}{\partial x^1}\right)\tag{3}\]
(3)式はk=0,3のときは明らかに0になる。
ではk=1のときはどうなるか。実は前回\(\Gamma^1_{~12}=0\)を計算したから、すでに出せている。どういうことかというと、クリストッフェル記号の一般的な対称性\(\Gamma^i_{~jk}=\Gamma^i_{~kj}\)を使えば、\(\Gamma^1_{~21}=\Gamma^1_{~12}=0\)となる。
k=2のときは
\[\begin{align}
\Gamma^1_{~22}&=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{12}}{\partial x^2}-\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1}\right) \\\\
&=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{22}}{\partial x^1} \\\\
&=-\frac{1}{2}\frac{1}{L(r)}\frac{\partial r^2}{\partial r} \\\\
&=-\frac{r}{L(r)} \tag{4}
\end{align}\]
となる。これでj=2は終わりだ。
j=3の場合
\[\Gamma^1_{~3k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{13}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^3}-\frac{\partial g_{3k}}{\partial x^1}\right)\tag{5}\]
第一項は\(g_{13}=0\)で消えて、第二項は計量テンソルで\(x^3(=\phi)\)が含まれているものは無いので0である。
第三項はk=3のときのみ0でないから、k=0～3の中で\(\Gamma^1_{~3k}\)が0でないのはk=3のときだけだ。だからこれだけを計算すればよい！
\[\begin{align}
\Gamma^1_{~33}&=-\frac{1}{2}g^{11}\frac{\partial g_{33}}{\partial x^1}\\\\
&= -\frac{1}{2}\frac{1}{L(r)}\frac{\partial (r^2\sin^2\theta)}{\partial r} \\\\
&= -\frac{r\sin^2\theta}{L(r)} \tag{6}
\end{align}\]
ということでこれでとりあえず一段落。
\(\Gamma^1_{~jk}\)のまとめ
とりあえず、\(\Gamma^1_{~jk}\)が求め終わったので0でないものだけまとめておく。
\[\left\{\begin{align}
\Gamma^1_{~00} &= -\frac{K'(r)}{2L(r)} \\
\Gamma^1_{~11} &= \frac{L'(r)}{2L(r)} \\
\Gamma^1_{~22} &= -\frac{r}{L(r)} \\
\Gamma^1_{~33} &= -\frac{r\sin^2\theta}{L(r)}
\end{align}\right.\]
とまあこんなところだ。数字が揃った項だけが残った。まだまだ続くクリストッフェル記号編。