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シュバルツシルト解の導出(3)


続・クリストッフェル記号の計算

まだまだクリストッフェル記号の計算が続く。疲れてしまうが頑張る。

シュバルツシルト解の導出(1)の(2), (7), (8)式を(2b),(7b),(8b)として再掲する。(2b),(8b)式はシュバルツシルト解の仮定であった。 \[ds^2=c^2K(r)dt^2 + L(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{2b}\] \[\Gamma^i_{~jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{7b}\] \[g_{00} = K(r), ~~g_{11} = L(r), ~~ g_{22} = r^2, ~~g_{33}=r^2\sin^2\theta \tag{8b}\] 今回は前回の続きで\(\Gamma^1_{~jk}\)を計算する。
\(\Gamma^1_{~jk}\)をまずは書き下す。 \[\Gamma^1_{~jk}=\frac{1}{2} g^{1l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\] 前回と同じように、対角成分である\(g^{11}\)以外は0なので、 \[ \Gamma^1_{~jk}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{1j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^1}\right) \tag{2}\] とできる。前回は最後の偏微分が\(x^0\)によるものだったので、それを消せてここからさらに簡単にできたが、今回はそうはいかない。ここからは具体的に考えていこう。

どこからやるか迷うが、順番に攻めていく。

まずj=0の場合。

j=0のとき(2)式は、 \[ \Gamma^1_{~0k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{10}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^1}\right) \tag{3}\] となる。静的な時空では、\(x^0\)による偏微分は0、また、\(g_{10}\)は対角成分でないので0である。よって \[ \Gamma^1_{~0k}=-\frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^1} \tag{4}\] \(g_{0k}\)はk=0以外では0である。したがって、 \[\begin{align} \Gamma^1_{~0k} &= 0 ~~(k\neq0) \\ \Gamma^1_{~00} &= -\frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^1} \\\\ &= -\frac{1}{2} \frac{1}{L(r)}\frac{\partial K(r)}{\partial r} \\\\ &= -\frac{K'(r)}{2L(r)} \end{align}\tag{5}\] となる。

j=1の場合

j=1のとき(2)式は、 \[ \Gamma^1_{~1k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{11}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^1}-\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^1}\right) \tag{6}\] これをみると\(\Gamma^1_{~1k}\)はk=1以外では0になってしまうことがわかる。k=0のときは最初の偏微分が0、さらに\(g_{10}=0\)なのでその後の項も0になる。k=2のとき、k=3のときも同じである。よって、 \[\begin{align} \Gamma^1_{~1k} &= 0 ~~(k\neq1) \\ \Gamma^1_{~11} &= \frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} +\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1}-\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} \right)\\\\ &= \frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} \\\\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{L(r)}\frac{\partial L(r)}{\partial r} \\\\ &= \frac{L'(r)}{2L(r)} \end{align}\tag{7}\] となる。 j=2, j=3は次のページヘ。