続・クリストッフェル記号の計算
まだまだクリストッフェル記号の計算が続く。疲れてしまうが頑張る。
シュバルツシルト解の導出(1)の(2), (7), (8)式を(2b),(7b),(8b)として再掲する。(2b),(8b)式はシュバルツシルト解の仮定であった。
\[ds^2=c^2K(r)dt^2 + L(r)dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \tag{2b}\]
\[\Gamma^i_{~jk} = \frac{1}{2} g^{il} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{7b}\]
\[g_{00} = K(r), ~~g_{11} = L(r), ~~ g_{22} = r^2, ~~g_{33}=r^2\sin^2\theta \tag{8b}\]
今回は前回の続きで\(\Gamma^1_{~jk}\)を計算する。
\(\Gamma^1_{~jk}\)をまずは書き下す。
\[\Gamma^1_{~jk}=\frac{1}{2} g^{1l} \left(\frac{\partial g_{lj}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{lk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^l}\right) \tag{1}\]
前回と同じように、対角成分である\(g^{11}\)以外は0なので、
\[
\Gamma^1_{~jk}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{1j}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^1}\right)
\tag{2}\]
とできる。前回は最後の偏微分が\(x^0\)によるものだったので、それを消せてここからさらに簡単にできたが、今回はそうはいかない。ここからは具体的に考えていこう。
どこからやるか迷うが、順番に攻めていく。
まずj=0の場合。
j=0のとき(2)式は、
\[
\Gamma^1_{~0k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{10}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^0}-\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^1}\right)
\tag{3}\]
となる。静的な時空では、\(x^0\)による偏微分は0、また、\(g_{10}\)は対角成分でないので0である。よって
\[
\Gamma^1_{~0k}=-\frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{0k}}{\partial x^1}
\tag{4}\]
\(g_{0k}\)はk=0以外では0である。したがって、
\[\begin{align}
\Gamma^1_{~0k} &= 0 ~~(k\neq0) \\
\Gamma^1_{~00} &= -\frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{00}}{\partial x^1} \\\\
&= -\frac{1}{2} \frac{1}{L(r)}\frac{\partial K(r)}{\partial r} \\\\
&= -\frac{K'(r)}{2L(r)}
\end{align}\tag{5}\]
となる。
j=1の場合
j=1のとき(2)式は、
\[
\Gamma^1_{~1k}=\frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{11}}{\partial x^k} +\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^1}-\frac{\partial g_{1k}}{\partial x^1}\right)
\tag{6}\]
これをみると\(\Gamma^1_{~1k}\)はk=1以外では0になってしまうことがわかる。k=0のときは最初の偏微分が0、さらに\(g_{10}=0\)なのでその後の項も0になる。k=2のとき、k=3のときも同じである。よって、
\[\begin{align}
\Gamma^1_{~1k} &= 0 ~~(k\neq1) \\
\Gamma^1_{~11} &= \frac{1}{2} g^{11} \left(\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} +\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1}-\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} \right)\\\\
&= \frac{1}{2} g^{11}\frac{\partial g_{11}}{\partial x^1} \\\\
&= \frac{1}{2} \frac{1}{L(r)}\frac{\partial L(r)}{\partial r} \\\\
&= \frac{L'(r)}{2L(r)}
\end{align}\tag{7}\]
となる。
j=2, j=3は次のページヘ。