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角運動量演算子による位置演算子の回転


1.角運動量演算子の構成

ある演算子が \[[\hat{l}_x,\hat{l}_y]=i\hat{l}_z,~[\hat{l}_z,\hat{l}_x]=i\hat{l}_y,~[\hat{l}_y,\hat{l}_z]=i\hat{l}_x\tag{1}\] という性質を満たしてさえいれば、それは角運動量演算子として考えることができる。今回は面倒くさいのでハットは省略する。だいたい出てくる文字は演算子だと思って欲しい。

一般的な量子力学の講義なんかでは、角運動量演算子は最初、古典論との対応を考えながら、位置演算子\(\b{r}\)と運動量演算子\(\b{p}\)を使って、 \[\b{l} = \b{r}\times\b{p}\tag{2}\] と導入されることが多いかもしれない。このように角運動量演算子を導入すると、量子力学の大原則である正準交換関係 \[[r_i,p_j] = i\delta_{ij}\tag{3}\] によって、(1)の交換関係を満たす演算子\(l_x,l_y,l_z\)を作り出すことができる。(\(\hbar\)は1にした。(3)式の交換関係から(1)を導き出せることはそのうち説明するかもしれないし、しないかもしれない。)

さて、この前角運動量演算子を角運動量演算子によって回転させると、例えば\(l_x\)のz軸回りの回転は \[\exp\left(i\theta l_z\right)l_x\exp\left(-i\theta l_z\right) = l_z\cos\theta -l_y\sin\theta\] のようになることが示せた。今回は、(2)のような角運動量演算子の定義のやり方によれば、位置演算子\(\b{r}\)を回転させることもできるんじゃないか、と思い立って計算してみることにした。

2.計算

簡単な例として、 \[\exp\left(i\theta l_z\right)x\exp\left(-i\theta l_z\right)\tag{4}\] (2)のような角運動量の定義に基づいて計算してみようと思う。位置演算子のx成分をz軸回りに回すとどうなるか、という計算である。予想はできるけど予想通りになるかな。

外積をしっかり書いてやると、 \[l_z = xp_y-yp_x\tag{5}\] だからこれを(4)に代入して計算していこう。途中でこの前紹介したアダマールの補題 \[e^A B e^{-A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \underbrace{[A,[A,\cdots,[A}_n,B]\cdots]\tag{1}\] を使う。

\begin{align} &\exp\left(i\theta l_z\right)x\exp\left(-i\theta l_z\right)\\ &=\exp\left(i\theta (xp_y-yp_x)\right)x\exp\left(-i\theta (xp_y-yp_x)\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\theta)^n}{n!} \underbrace{[(xp_y-yp_x),[(xp_y-yp_x),\cdots,[(xp_y-yp_x)}_n,x]\cdots] \end{align} 交換子がたくさん出てくるので、順番に計算してみよう。(3)の交換関係に注意しながら、計算すると \begin{align} [(xp_y-yp_x),x] &= -y[p_x,x] \\ &=iy\\ [(xp_y-yp_x),[(xp_y-yp_x),x]] &= [(xp_y-yp_x),iy] \\ &=ix[p_y,y] \\ &= x \end{align} おお、2回交換子をかけると元に戻るのか。ということでさっきの式を偶数番目と奇数番目に分けてやろう。 \begin{align} &\exp\left(i\theta l_z\right)x\exp\left(-i\theta l_z\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty \frac{(i\theta)^{2n}}{(2n)!}x + \sum_{n=0}^\infty \frac{(i\theta)^{2n+1}}{(2n+1)!}(iy)\\ &=x\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\theta^{2n}}{(2n)!} -y\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{\theta^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{align} このシグマはsinとcosのテイラー展開そのものだから、 \[\exp\left(i\theta l_z\right)x\exp\left(-i\theta l_z\right) = x\cos\theta - y\sin\theta\] となる。予想通りの答えだ。sinの方にマイナスがついているのは、(4)で定義した回転が、普通の回転と逆だったんだろう。