1.多粒子系の波動関数
このページでは第二量子化を導出する。区別できない量子力学的な粒子が\(N\)個存在する系を考えよう。
以前の記事で取り扱ったように、この系のスピンを無視した波動関数 (の位置表示) は、\(3N\)次元の空間に存在する波\(\psi(\b{r}_1,\b{r}_2,\cdots,\b{r}_N)\)である。しかもその区別できない性質から、\(i\)番目の粒子と\(j\)番目の粒子を入れ替えたとき、波動関数は次のように、符号しか変化してはいけない。
\[\psi(\b{r}_1,\cdots,\b{r}_i,\cdots,\b{r}_j,\cdots,\b{r}_N) = \pm\psi(\b{r}_1,\cdots,\b{r}_j,\cdots,\b{r}_i,\cdots,\b{r}_N)\tag{1}\]
\(+\)の場合を
ボソン
・\(-\)の場合を
フェルミオン
と呼ぶのだった。
それぞれの粒子が全く独立な波動関数\(\{\phi_i(\b{r})\}\)にしたがっているような場合であっても、波動関数は、この制約から
\[\psi(\b{r}_1,\b{r}_2,\cdots,\b{r}_N) = \phi_1(\b{r}_1)\phi_2(\b{r}_2)\cdots\phi_N(\b{r}_N)\tag{2}\]
のような形にはなれない。なぜなら、この形ではある粒子が\(\phi_1\)という波動関数に従い、もう一つの粒子は\(\phi_2\)という波動関数に従い、...のような描像が成り立ち、「区別」できてしまうからだ。
そこで、「区別できないけれども、一つ一つの粒子がある独立な波動関数\(\{\phi_i(\b{r})\}\)で運動している」という描像を描くために便利な手法が考え出された。フェルミオンの場合には、粒子の交換について波動関数の符号が反転するように\(\{\phi_i(\b{r})\}\)を組み合わせた、
スレーター行列式
\[
\Phi_{\phi_1\phi_2\cdots\phi_N}^f(\b{r}_1,\b{r}_2,\cdots,\b{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}}\left|\begin{array}{cccc}
\phi_1(\b{r}_1) & \phi_1(\b{r}_2) & \cdots & \phi_1(\b{r}_N) \\
\phi_2(\b{r}_1) & \phi_2(\b{r}_2) & \cdots & \phi_2(\b{r}_N) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\phi_N(\b{r}_1) & \phi_N(\b{r}_2) & \cdots & \phi_N(\b{r}_N) \\
\end{array}
\right|\tag{3}
\]
が有名だろう。この行列式をみると、列の交換が粒子の交換に対応していることがわかる。行列式の性質から粒子の交換に対して符号が反転するように考えられているのだ。また、ある\(i,j\)について\(\phi_i = \phi_j\)が成り立つ場合、つまり2つの粒子が同じ波動関数を持つ場合、行列式は\(0\)になる。フェルミオン系では、1つの波動関数をとることができるのは、1つの粒子だけなのだ。
行列式を展開すると、
\begin{align}
\Phi^f_{\phi_1\phi_2\cdots\phi_N}(\b{r}_1,\b{r}_2,\cdots,\b{r}_N)
= \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{\{P\}} \text{sign}(P) \phi_{P_1}(\b{r}_1)\phi_{P_2}(\b{r}_2)\cdots\phi_{P_N}(\b{r}_N)\tag{4}
\end{align}
とも書ける。\(P\)は\((1,2,...,N)\)の順列 (permutation) を表し、和は\(N!\)通りの全ての順列\(\{P\} = \{(1,2,...,N),(2,1,...,N)...\text{etc}\}\)についてとる。また、\(\text{sign}(P)\)は\(P\)が偶置換なら\(1\), 奇置換なら\(-1\)とする。
一方でボソンでは、このフェルミオンの波動関数の\(\text{sign}(P)\)部分をとったもの、
\[\Phi^b_{\phi_1\phi_2\cdots\phi_N}(\b{r}_1,\b{r}_2,\cdots,\b{r}_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{\{P\}}\phi_{P_1}(\b{r}_1)\phi_{P_2}(\b{r}_2)\cdots\phi_{P_N}(\b{r}_N)\tag{5}\]
を使えば、全ての粒子の交換に対して同じ波動関数になる。こんなふうにシグマを使って書くと仰々しいが、要するに全ての並べ替えを足し上げたものを使えば、粒子を交換しても同じものになるでしょ？ということだ。ちなみに行列式がdeterminantと呼ばれるのに対して、(5)式はパーマネント (permanent)と呼ばれる量である。ボソンの方は、特に\(\phi_i = \phi_j\)となっていても問題なく、何個でも同じ波動関数を持つことができる。
便利な手法とは言ったものの、前回、スレーター行列式を使ったシュレディンガー方程式の近似方程式である
Hartree-Fock方程式を導出するだけで、かなり式が長くなって大変だった。いくら上の2つが正しい表式だとは言っても、やはり式が長くなると途中で何をやっているのか忘れそうになったりするわけで、もっと簡潔に、物理的描像もわかりやすくしたいところである。そこで考えられたのが、
第二量子化
であり、場の量子化につながる手法だ。
2.ボソンの第二量子化
ボソンを考えるときに何と言ってもヒントになるのは、
量子化された電磁場である。電磁場の量子化は、「ある振動数\(\omega\)を持つ光子は、\(E=n\hbar\omega\)の離散的なエネルギーしか取らない」という実験事実に、エネルギーが\(n\hbar\omega\)に離散化されている量子力学的な調和振動子とのアナロジーを見つけて、無理やり行った。
もちろん、場の量子化の理論を学んで、それから系統立てて色々な系を量子化するのが筋なのかも知れないが、僕は実験事実に合わせこむような、ある意味"汚い"理論を最初に作って、それから公理を整備していくやり方のほうが好きだ。
電磁場の量子化の理論では、あるモード\(\b{k},\sigma\) (\(\b{k},\sigma\)は波数ベクトルと偏光モード) に対応する生成演算子\(a^\dagger_{\b{k}\sigma}\)を、真空\(\ket{0}\)にかけた状態
\[\ket{1_{\b{k}\sigma}} = a^\dagger_{\b{k}\sigma}\ket{0}\tag{6}\]
は、モード\(\b{k},\sigma\)に "1つ" の光子が存在する状態を表すと考えた。もちろん、\(a^\dagger_{\b{k}\sigma}\)を何度もかけ続ければ、"2つ"、"3つ"、と増やした状態も定義することができる。量子化された電磁場は、同じ「モード」に何個でも粒子が存在できる系なのである。もちろん、もとを辿ればこのことは「\(E=n\hbar\omega\)の離散的なエネルギーしか取らない」という実験事実からの帰結だ。
そうすると、光子はボソンと言っても良さそうな気がしてくるだろう。同じ波動関数を多数の粒子が持てるようなものをボソンといったのだから。
モードと波動関数は違うものなので、若干の論理の飛躍があるが、まあこのくらいは。
それにしても、\(a^\dagger\)を掛け続けるだけで\(N\)粒子の系を考えられるなんて、さっきの(5)式とは比較にならないくらい簡潔だ。この記法と波動関数による記法の対応関係をつければ、ボソンの多粒子状態を簡潔に記述できるかもしれない。そこで、この量子化された電磁場の考えを少し拡張して、一般に1つのボソン (光子とは限らない粒子) が、ある「モード」\(\mu\)に存在する状態が、
\[\ket{1_{\mu}} = a^\dagger_{\mu}\ket{0}\tag{7}\]
と表される、と考えてみることにする。モード\(\mu\)とは、例えばハミルトニアンの固有状態だと思えば良い。\(a^\dagger_{\mu}\)は、光子の場合と同じく、
\begin{align}
[a_{\mu},a^\dagger_{\nu}] &= \delta_{\mu\nu} \\
[a_{\mu},a_{\nu}] &= 0 \tag{8}\\
[a^\dagger_{\mu},a^\dagger_{\nu}] &= 0
\end{align}
を満たすものとする。
1つの粒子だけを考えた量子力学では、この状態\(\ket{1_{\mu}}\)を\(\ket{\mu}\)のように表記していたことに注意する。特に、そのモード\(\mu\)に対応する波動関数は\(\braket{\b{r}}{\mu} = \phi_\mu(\b{r})\)のように表していた。そうすると、\(\ket{1_{\mu}}\)を波動関数に直した\(\braket{\b{r}}{1_{\mu}}\)は当然\(\phi_\mu(\b{r})\)と等しいべきだろう。よって、生成演算子による記法と波動関数による記法の間に、次の対応関係をつける。
\[\phi_\mu(\b{r}) = \braket{\b{r}}{1_{\mu}} = \bra{\b{r}}a^\dagger_\mu\ket{0}\tag{9}\]
この対応関係をつけて次に調べたくなるのは、例えばモード\(\mu,\nu\)に粒子が存在する2粒子状態\(\ket{1_{\mu}1_{\nu}}=a^\dagger_\mu a^\dagger_\nu\ket{0}\)が、うまいこと波動関数による表記と対応づいていて、
\[\ket{1_{\mu}1_{\nu}} \overset{?}{\leftrightarrow}\phi_\mu(\b{r}_1)\phi_\nu(\b{r}_2)+\phi_\nu(\b{r}_1)\phi_\mu(\b{r}_2)\]
となっているかどうかだろう。それを調べるには、\(\braket{\b{r}_1\b{r}_2}{1_{\mu}1_{\nu}}\)のような内積を調べれば良いわけだが、これまでの議論では、いかんせん\(\bra{\b{r}_1\b{r}_2}\)というものをどう扱ったら良いのかわからない。そこで(9)の対応関係を元にして、\(\ket{\b{r}}\)を\(\ket{1_\mu}\)で表してみよう。
そのために、\(\ket{\mu}=\ket{1_\mu}\)が完全系をなしていて、\(\sum_\mu \ket{1_\mu}\bra{1_\mu} = 1\)であると仮定する。\(\ket{\mu}\)がハミルトニアンの固有状態を表すなら、この仮定は全く不自然なものでは無い。そうすると、
\begin{align}
\ket{\b{r}} &= \sum_\mu \ket{1_\mu}\braket{1_\mu}{\b{r}} \\
&= \sum_\mu \phi_\mu(\b{r})^*\ket{1_\mu}
\end{align}
となり、位置状態\(\b{r}\)が、粒子数状態\(\ket{1_\mu}\)、もしくは真空\(\ket{0}\)と次のような関係を持つことが分かった。
\[\ket{\b{r}} = \sum_\mu \phi^*_\mu(\b{r})\ket{1_\mu} = \sum_\mu \phi^*_\mu(\b{r})a^\dagger_\mu \ket{0}\tag{11}\]
上の式から位置状態の生成演算子を次のように定義しよう。
\[\psi^\dagger(\b{r})= \sum_\mu \phi^*_\mu(\b{r})a^\dagger_\mu \tag{12}\]
そうすると、2粒子の位置状態は
\[\ket{\b{r}_1\b{r}_2} = \psi^\dagger(\b{r}_2)\psi^\dagger(\b{r}_1)\ket{0}\tag{13}\]
と定義すれば良さそうだ。この位置状態を使って、\(\braket{\b{r}_1\b{r}_2}{1_{\mu}1_{\nu}}\)を計算してみよう。計算途中にはボソンの交換関係と、\(a_\mu\ket{0}=0\)となることを使う。
\begin{align}
\braket{\b{r}_1\b{r}_2}{1_{\mu}1_{\nu}} &= \bra{0}\sum_\beta \phi_\beta(\b{r}_1)a_\beta\sum_\alpha \phi_\alpha(\b{r}_2)a_\alpha a^\dagger_\mu a^\dagger_\nu\ket{0} \\
&= \sum_{\alpha,\beta}\phi_\alpha(\b{r}_2)\phi_\beta(\b{r}_1)\bra{0}a_\beta a_\alpha a^\dagger_\mu a^\dagger_\nu \ket{0}
\end{align}
\(\bra{0}a_\beta a_\alpha a^\dagger_\mu a^\dagger_\nu \ket{0}\)だけ計算すると、
\begin{align}
\bra{0}a_\beta a_\alpha a^\dagger_\mu a^\dagger_\nu \ket{0} &=
\bra{0}a_\beta (\delta_{\alpha\mu}+a^\dagger_\mu a_\alpha) a^\dagger_\nu \ket{0} \\
&=\delta_{\alpha\mu}\bra{0}a_\beta a^\dagger_\nu \ket{0} + \bra{0}a_\beta a^\dagger_\mu a_\alpha a^\dagger_\nu \ket{0}\\
&=\delta_{\alpha\mu}\bra{0}(\delta_{\beta\nu} + a^\dagger_\nu a_\beta) \ket{0} + \bra{0}(\delta_{\beta\mu} + a^\dagger_\mu a_\beta ) (\delta_{\alpha\nu} + a^\dagger_\nu a_\alpha) \ket{0}\\
&=\delta_{\alpha\mu}\delta_{\beta\nu} + \delta_{\alpha\nu}\delta_{\beta\mu}
\end{align}
となるので、
\begin{align}
\braket{\b{r}_1\b{r}_2}{1_{\mu}1_{\nu}}
&= \sum_{\alpha,\beta}\phi_\alpha(\b{r}_2)\phi_\beta(\b{r}_1)(\delta_{\alpha\mu}\delta_{\beta\nu} + \delta_{\alpha\nu}\delta_{\beta\mu})\\
&= \phi_\mu(\b{r}_1)\phi_\nu(\b{r}_2) + \phi_\nu(\b{r}_1)\phi_\mu(\b{r}_2)
\end{align}
が得られる。確かにボソンの波動関数と (規格化定数を除いて) きっちり対応がついている！
規格化定数は後回しにする。
より一般に\(N\)粒子系においてもこの手法はうまく行く。帰納法によって示そう。示したいことは、
\begin{align}
&\bra{\b{r}_1\b{r}_2\cdots\b{r}_N}a^\dagger_{\mu_N}\cdots a^\dagger_{\mu_2} a^\dagger_{\mu_1}\ket{0}\\
&=\sum_{\{P\}}\phi_{P_1}(\b{r}_1)\phi_{P_2}(\b{r}_2)\cdots\phi_{P_N}(\b{r}_N) = \Phi^b_{\phi_1\cdots\phi_N}(\b{r}_1,\cdots,\b{r}_N)
\end{align}
である。(規格化定数は無視した。) \(N=2\)のときはすでに示せているから、\(N=k\)のとき成り立っていると仮定して、\(N=k+1\)のときに成立することを確かめれば良い。
証明には\(\psi\)と\(a^\dagger_\mu\)の交換関係を導出しておくと便利なので、まずはそれをやろう。
\begin{align}
[\psi(\b{r}),a^\dagger_\mu] &= [\sum_\nu \phi_\nu (\b{r})a_\nu ,a^\dagger_\mu]\\
&= \sum_\nu \phi_\nu (\b{r})[a_\nu ,a^\dagger_\mu]\\
&= \sum_\nu \phi_\nu (\b{r})\delta_{\nu\mu}\\
&= \phi_\mu (\b{r})
\end{align}
となる。これを使いながら次のように式変形をしていく。
\begin{align}
&\bra{\b{r}_1\b{r}_2\cdots\b{r}_{k+1}}a^\dagger_{\mu_{k+1}}\cdots a^\dagger_{\mu_2} a^\dagger_{\mu_1}\ket{0}\\
&=\bra{0}\psi(\b{r}_1)\psi(\b{r}_2)\cdots\psi(\b{r}_{k+1})a^\dagger_{\mu_{k+1}}\cdots a^\dagger_{\mu_2} a^\dagger_{\mu_1}\ket{0}\\
&=\bra{0}\psi(\b{r}_1)\psi(\b{r}_2)\cdots\psi(\b{r}_{k})(\phi_\mu (\b{r})+a^\dagger_{\mu_{k+1}}\psi(\b{r}_{k+1}))a^\dagger_{\mu_k}\cdots a^\dagger_{\mu_2} a^\dagger_{\mu_1}\ket{0}\\
&= \phi_{\mu_{k+1}} (\b{r}_{k+1})\Phi^b_{\phi_1\cdots\phi_k}(\b{r}_1,\cdots,\b{r}_k) + \bra{0}\psi(\b{r}_1)\psi(\b{r}_2)\cdots\psi(\b{r}_{k})a^\dagger_{\mu_{k+1}}\psi(\b{r}_{k+1})a^\dagger_{\mu_k}\cdots a^\dagger_{\mu_2} a^\dagger_{\mu_1}\ket{0}
\end{align}
さらに順々に\(\psi(\b{r}_{k+1})\)を右へ右へと押しやって行くと、最後には\(\psi(\b{r}_{k+1})\ket{0}=0\)となるので、
\begin{align}
&= \phi_{\mu_{k+1}} (\b{r}_{k+1})\Phi^b_{\phi_1\cdots\phi_k}(\b{r}_1,\cdots,\b{r}_k)\\
&~+\phi_{\mu_{k}} (\b{r}_{k+1})\Phi^b_{\phi_1\overset{k以外}{\cdots}\phi_{k+1}}(\b{r}_1,\cdots,\b{r}_k)\\
&~+\phi_{\mu_{k-1}} (\b{r}_{k+1})\Phi^b_{\phi_1\overset{(k-1)以外}{\cdots}\phi_{k+1}}(\b{r}_1,\cdots,\b{r}_k)\\
&\cdots\\
&~+ \phi_{\mu_{1}} (\b{r}_{k+1})\Phi^b_{\phi_2\cdots\phi_{k+1}}(\b{r}_1,\cdots,\b{r}_k)
\end{align}
となる。これはちょうど余因子展開の形になっていて、パーマネントで定義した(5)と同じ式である。よってこれで一般の\(N\)の場合にも、今回導入した表記がうまく行くことが示された。
3.規格化定数
ここまでで、たしかにパーマネントで定義した波動関数 (5) と、それを生成演算子による表記に対応付けた形式が、規格化定数を除いて一致することが確かめられた。規格化定数を導入するのは簡単で、位置状態の定義をやり直し、
\[\ket{\b{r}_1\b{r}_2\cdots\b{r}_N} = \frac{1}{\sqrt{N!}}\psi^\dagger(\b{r}_N)\cdots\psi^\dagger(\b{r}_2)\psi^\dagger(\b{r}_1)\ket{0}\]
としておけば良い。
フェルミオンまで書こうかと思っていたけど、長くなりすぎるので次回に回すことにした。ハミルトニアンをこの形式に書き直すのもまた今度にしよう。今回のポイントは、生成消滅演算子を導入すれば、多粒子系を簡潔に表すことができるということである。