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本当のシュレディンガー方程式


1.シュレディンガー方程式とハイゼンベルク方程式の対応

ハイゼンベルク方程式とシュレディンガー方程式は \[\left\{\begin{align} \left(\frac{P^2}{2m}+V(X)\right)\psi &= W\psi\\ \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\right)\phi &= E\phi \end{align}\right.\tag{1} \] のように形が似ていることから、この2つの方程式を一つにまとめることができないか考えてきた。これまでの議論の結果、ハイゼンベルク方程式における行列\(P,X\)は、適当な完全正規直交基底\(\phi_n\)のもとで位置演算子\(x\)と運動量演算子\(-i\hbar\frac{d}{dx}\)から作り出すことができて、 \[\left\{\begin{align} X_{mn}&=\int\phi_m^*(x)x\phi_n(x)dx\\ P_{mn}&=\int\phi_m^*(x)\left(-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\phi_n(x)dx \end{align}\right.\tag{2}\] と書くことができた。この事実を使って、ハイゼンベルク方程式を微分方程式に書き換えると、「本当の」シュレディンガー方程式が得られるのだが、それを今回はやってみようと思う。

2.行列力学を微分方程式に書き換える

行列力学の中心であるハイゼンベルク方程式は、古典論でのハミルトニアン\(H(x,p)\)の\(x,p\)を、交換関係を満たすエルミートな行列\(X,P\)(具体的な例は(2)式)で置き換えて得られるハミルトニアンの行列\(H(X,P)\)を使って \[H(X,P)\psi=W\psi\tag{3}\] の形で書かれる。

演算子の行列表現のページの最後で説明したように、普通の和と積ならば、行列とそれに対応する演算子を交換することは全く問題を変化させない。適当な正規直交基底\(\phi_n(x)\)を持ってきて、(3)のベクトル\(\psi\)を関数的に表示すると、 \[\psi(x)=\sum_n\psi_n\phi_n(x)\tag{4}\] となるが、この関数に対しては、(2)式の対応関係によって、ハイゼンベルク方程式(3)と等価な方程式 \[H\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x) = W\psi(x)\tag{5}\] が成り立つはずだ。ハイゼンベルク方程式では行列だったハミルトニアンは、こういう風に書き換えると演算子となってしまう。そこでそのことが明らかにわかるようにハット^をつけてやる。 \[\hat{H}\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x) = W\psi(x)\tag{5}\] この(5)式が

本当のシュレディンガー方程式

である。シュレディンガーの功績は、物質波の方程式と行列力学の方程式を見比べて、演算子と行列の対応関係を見出したところにあるのだ。つまり、古典論におけるハミルトニアンの運動量と位置をそれぞれの演算子\(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\)で置き換え、(5)の方程式を作ることによって、量子力学の問題が解けることを示したのだ。

さらに、このシュレディンガー方程式は、全く物理的な描像を持つことのできなかったハイゼンベルク方程式に比べて、電子の波の形を思い描くことができるという利点もある。

一番素晴らしいところは、(3)と(5)は全く等価な方程式なのにもかかわらず、(5)は微分方程式なので、(3)の無限次元の行列を解くよりも遥かに簡単に解くことができる、というところだ。これによって、ハイゼンベルクの行列力学では全く手のつけようがなかった問題も、どんどんと解けるようになったのだった。

3.理論の構造

シュレディンガー方程式

\[\hat{H}\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x) = W\psi(x)\tag{5}\] を解くことでもとまる\(\psi(x)\)はハミルトニアン演算子\(\hat{H}\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\)の固有関数と呼ばれ、\(W\)はその固有値と言われる。ちょうど行列の固有ベクトルと固有値に相当する関係なのでそのように呼ばれるのだ。

で(5)によって現れる固有値は、境界条件を反映して飛び飛びの値を取ることが多い。そこでそれらを\(W_n\)と書くことにして、対応する固有関数を\(\psi_n(x)\)と書くことにしよう。

このとき、(5)によって求まった固有関数を適当な完全正規直交基底\(\phi_n(x)\)によって展開して、ベクトル表示した\(\psi_n=(\psi_{1n},\psi_{2n},...)\)がハイゼンベルク方程式の固有ベクトルに相当する。具体的にこのベクトルは、 \[\psi_{mn}=\int\phi_m^*(x)\psi_n(x)dx\tag{6}\] と求めることができるのだ。これでハミルトニアン行列の固有ベクトルを求まるので、あとは行列力学の手順にそって進めていくことで、実験値を予測する。

これがシュレディンガー方程式のやり方だ。しかし、この手順はもう少し簡単になるから、それを次回やろう。