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行列力学のまとめ


1.ハイゼンベルクの運動方程式

\[ \left\{\begin{align} \dot{x}&=\frac{1}{i\hbar}[x,H] \\ \dot{p}&=\frac{1}{i\hbar}[p,H] \\ xp-px&=i\hbar I \end{align}\right. \tag{1} \] というのが、ハイゼンベルクの運動方程式だった。また、任意の\(x,p\)によって決定される物理量\(g(x,p)\)は \[\dot{g}=\frac{1}{i\hbar}[g,H]\tag{2}\] を満たすのだった。また、位置や運動量のそれぞれの成分は \[x_{mn}(t)=X_{mn}e^{i\omega_{mn}t}\tag{3}\] という形式で書くことができて、さらに\(\omega_{mn}\)はボーアの振動数関係 \[\hbar\omega_{mn}=H_{mm}-H_{nn}\tag{4}\] をみたし、また、ハミルトニアンは \[H_{mn}=E_m\delta_{mn}\tag{5}\] という対角行列になる。

また、水素原子のスペクトルの強度(つまり遷移の確率)を調べたいときは、古典論で電子の加速度に相当する量\(\ddot{x}\)の振幅の二乗\(|\ddot{x}|^2\)を調べてあげればよいということになった。

これがハイゼンベルクの運動方程式の全体像だ。

2.行列力学の固有値問題

ハイゼンベルクの運動方程式はまた、次のような手順でハミルトニアンを対角化することによっても解ける。これはハミルトンの正準方程式を原理と見る上のやり方に対して、エネルギー保存則を原理とみるやり方だった。

1. \([X,P]=i\hbar I\)を満たす\(X,P\)を適当に持ってくる。(例えば前回求めた調和振動子の行列)
2. H(X,P)を計算して、それを対角化する行列\(U\)を求める。(このときに得られる固有値が定常状態のエネルギー)
3. このときの\(X_0=U^*XU,P_0=U^*PU\)が求めたい位置と運動量になる。

このときに最初にもってくる\(X,P\)は、例えば調和振動子の場合のもの \[X=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\Omega}}\left(\begin{array}{cccccc} 0&\sqrt{1}&0&0&0&\cdots\\ \sqrt{1}&0&\sqrt{2}&0&0&\cdots\\ 0&\sqrt{2}&0&\sqrt{3}&0&\cdots\\ 0&0&\sqrt{3}&0&\sqrt{4}&\cdots\\ 0&0&0&\sqrt{4}&0&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{array}\right)\tag{6} \] \[P=i\sqrt{\frac{m\hbar\Omega}{2}}\left(\begin{array}{cccccc} 0&-\sqrt{1}&0&0&0&\cdots\\ \sqrt{1}&0&-\sqrt{2}&0&0&\cdots\\ 0&\sqrt{2}&0&-\sqrt{3}&0&\cdots\\ 0&0&\sqrt{3}&0&-\sqrt{4}&\cdots\\ 0&0&0&\sqrt{4}&0&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{array}\right)\tag{7} \] を使えば十分だ。これによって求められた \[X_0=U^*XU\tag{8}\] が位置を表す行列なので、対応原理から、\(\ddot{x}\)の振幅の二乗\(|\ddot{x}|^2\)を調べるとスペクトルの強度がわかるわけだ。

また、エルミートな\(H\)に対して\(U\)は正規直交なベクトルたち\(\left(\begin{array}{cccc}\psi_1&\psi_2&\psi_3&\cdots\end{array}\right)\)からできあがる行列だった。つまり \[(X_0)_{nm}=\psi_n^*\cdot X\psi_m\tag{9}\] であり、これを時間で二階微分したものが、\(n,m\)軌道間の遷移の確率(みたいなもの)になる。

やっと(9)式でシュレディンガー方程式の謎が解ける。波動関数で \[\int \psi^*A\psi dx\] がある物理的な意味を持つというのは、ここから来ているんだろう。対応原理そのものじゃないか。このへんの事情を知らずに量子力学を勉強しても意味がわからないだろうなあ、と思う。