1.行列力学のまとめ
\[
\left\{\begin{align}
\dot{x}&=\frac{1}{i\hbar}[x,H] \\
\dot{p}&=\frac{1}{i\hbar}[p,H] \\
xp-px&=i\hbar I
\end{align}\right. \tag{1}
\]
というのが、ハイゼンベルクの運動方程式だった。また、任意の\(x,p\)によって決定される物理量\(g(x,p)\)は
\[\dot{g}=\frac{1}{i\hbar}[g,H]\tag{2}\]
を満たすのだった。今回は、この運動方程式を書き換えていく。
2.エネルギー保存則
突然だが、\(H(p,q)\)の時間変化を(2)によって調べてみる。すると、
\[\dot{H}=[H,H]=0\]
したがって、ハミルトニアンは時間変化しないということがわかり、これは
エネルギー保存則
を表している。よってハミルトニアンは
\[H_{mn}=E_n\delta_{mn}\tag{3}\]
というふうに対角行列になる。
これでわかることは、\(x,p\)が運動方程式と交換関係\([x,p]=i\hbar I\)を満たすとき、エネルギー保存則が証明され、ハミルトニアンが対角行列になる、ということだ。
3.エネルギー保存則を原理とみると...
今のところは、運動方程式と交換関係が原理で、エネルギー保存則は導出される定理だったが、逆に、エネルギー保存則と交換関係から運動方程式を導出することはできないだろうか、と考える。
実はできてしまうのだが、それを示しておこう。
エネルギー保存則とは、行列力学の中ではハミルトニアンが対角行列になるということと等価だ。だから、今からやることは
- 適当な\(X,P\)が交換関係\([X,P]=i\hbar I\)を満たす
- ハミルトニアン\(H(X,P)\)が対角行列になっている
という条件だけで、位置\(x_{mn}=X_{mn}e^{i\omega_{mn}}t\)に対する運動方程式
\[\dot{x}=\frac{1}{i\hbar}[x,H]\tag{4}\]
が成り立っているかどうかを調べることだ。
とはいっても、そんなに難しくはない。まず
\[(左辺)_{mn}=i\omega_{mn}x_{mn}\]
はすぐにわかる。次に右辺は
\begin{align}
(右辺)_{mn}&=\frac{1}{i\hbar}\sum_k(x_{mk}H_{kn}-H_{mk}x_{kn})\\
&= \frac{1}{i\hbar}\sum_k(x_{mk}E_n\delta_{kn}-E_m\delta_{mk}x_{kn})\\
&= \frac{1}{i\hbar}(x_{mn}E_n-E_mx_{mn})\\
&= \frac{E_n-E_m}{i\hbar}x_{mn}\\
&= i\omega_{mn}x_{mn}
\end{align}
となって、もう示せてしまった。
よって
エネルギーが保存する、つまりハミルトニアンが対角行列になる、ということを原理として認めてもよさそうだ、ということがわかる。
4.行列力学は固有値問題だった!
ここまでで、交換関係\([X,P]=i\hbar I\)を満たす行列によって、ハミルトニアンが対角行列になれば、運動方程式は自動的に満たされることがわかった。
だから、問題の本質は、\([X,P]=i\hbar I\)を満たす行列\(X,P\)のなかで、与えられたハミルトニアン\(H(X_0,P_0)\)が対角行列になるような行列\(X_0,P_0\)を探す、ということに移り変わる。
対角化、と言われれば大学の線形代数には馴染み深い。線形代数でやったのと全くおんなじように考えれば対角化できるはずだ。つまり固有ベクトル・固有値を探して対角化する方法を思い出すわけだ。
まず\(H\)の固有ベクトル\(\psi\)は次のような関係性を満たすものだった。
\[H\psi=E\psi\tag{5}\]
(5)を解くとたくさんの固有値\(E_1,E_2,E_3,...\)と、それに対応した固有ベクトル\(\psi_1, \psi_2, \psi_3,...\)が得られる。これを解くのが固有値問題とよばれる問題だ。今回は、一般にハミルトニアンが無限次元なので、固有値や固有ベクトルも無限次元になるという難しそうな問題だ。
ともかく、これが解けて、固有値と固有ベクトルが求まったなら、
\begin{align}
H\psi_1&=E_1\psi_1 \\
H\psi_2&=E_2\psi_2 \\
H\psi_3&=E_3\psi_3 \\
\vdots
\end{align}
という方程式たちを、
\[
H\left(\begin{array}{cccc}
\psi_1&\psi_2&\psi_3&\cdots
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
\psi_1&\psi_2&\psi_3&\cdots
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cccc}
E_1&0&0&\cdots\\
0&E_2&0&\cdots\\
0&0&E_3&\cdots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right)
\tag{6}
\]
というように行列形式にまとめられて、
\[U=\left(\begin{array}{cccc}
\psi_1&\psi_2&\psi_3&\cdots
\end{array}\right)\tag{7}\]
という行列Uを定義すると、
\[HU=UE\tag{8}\]
というふうにきれいになる。まあこれによって状態のエネルギーはハミルトニアン行列の固有値であるということがわかるが、じゃあ\(X,P\)というのはこのとき(ハミルトニアンが対角化されたとき)どうなっているか考えよう。
ハミルトニアンの対角化は(8)から
\[U^{-1}HU=E\]
によって起こせる。例えばハミルトニアンが\(H=p^2/2m\)のときは
\begin{align}
U^{-1}HU&=\frac{1}{2m}U^{-1}p^2U\\
&=\frac{1}{2m}U^{-1}pUU^{-1}pU
\end{align}
のようになるから、もともと適当に\([X,P]=i\hbar I\)を満たすようにとってきた\(P\)に対して、ハミルトニアンが対角化されるような\(P_0\)は
\[P_0=U^{-1}PU\tag{9}\]
となっていればいい。\(H\)がxとpの積を含んでいても同様だろう。つまり、
\[
\left\{\begin{align}
X_0&=U^{-1}XU \\
P_0&=U^{-1}PU
\end{align}\right. \tag{10}
\]
というのが、求める位置と運動量の行列である。
5.まとめ
行列力学がしっかりとまとまったのでここでまとめておこう。
ある系のハミルトニアンが\(H(x,p)\)で与えられていたとする。この時、量子的に行列で表される位置\(X_0\)、運動量は\(P_0\)は次のようにして求められる。
1. \([X,P]=i\hbar I\)を満たす\(X,P\)を適当に持ってくる。(例えば
前回求めた調和振動子の行列)
2. H(X,P)を計算して、それを対角化する行列\(U\)を求める。(このときに得られる固有値が定常状態のエネルギー)
3. (10)によって\(X_0,P_0\)を求める。
とこんなところだ。けれども、\(X,P\)という行列が無限次元ていうのがめちゃくちゃに問題を難しくしている。これをいろんな系で解くのは本当に難しくて、水素原子の問題を解けたのは天才パウリしかいなかったらしい。
6.補足
ここまでの議論では、よく言われるようにハミルトニアン\(H\)がエルミートである必要性はどこにもなかった。
しかし、もしエルミートでないと、固有値が実数でなくなって、よって複素数のエネルギーというのが出てきてしまう。つまり振動数が虚数成分を含んで次第に時間的に減衰する解をもつ。こういう非エルミートなハミルトニアンを扱っている研究者もいるみたいだ。
で、もしエルミートだったとき(普通に扱う現象のときはエネルギーは実数だから普通はそうなのだ)には、固有ベクトルをすべて正規直交させることができるから、\(U\)をユニタリー行列にすることができる。
よって、調和振動子の解\(X_h,P_h\)をユニタリー変換\(U^\dagger X_hU\)することで、いろいろな系の解が得られるということになるのだが、個人的にはこれがなんだか面白い。ユニタリー変換というのは例えば三次元空間なら回転や反転を表す変換だから、調和振動子をくるっと回転させたら、違う物理系を表しているというイメージになるからな。面白い。
また、\(H\)の固有ベクトル\(\psi\)は後に
状態ベクトル
と呼ばれることになるベクトルだ。調和振動子の解をベースに位置や運動量を求めるという作業をシュレディンガー方程式風に言い直すと、調和振動子の波動関数で、考えている系の波動関数を展開していることに等しい。
この辺のことは次回以降に書こうと思う。