1.シュレディンガー方程式と物理量の行列表示
シュレディンガー方程式
\[\hat{H}\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x) = E\psi(x)\tag{1}\]
の解\(\psi_n(x)\)は、物理量とどのように結びつけるのが適当だろうか、ということについて考えていく。もちろん、シュレディンガー方程式はハイゼンベルクの行列力学と対応しているのだから、
前回みたように、例えば古典論において「位置」というものに相当する行列は、
\[X_{mn}=\int\psi_m^*x\psi_ndx\tag{2}\]
で与えられることだけはわかっている。そして、例えば遷移の確率(単位時間あたりの遷移の回数)を求めたければ、古典論との対応原理から、この各成分に時間因子\(\exp\left(\frac{i}{\hbar}(E_m-E_n)t\right)\)を付け足したうえで時間微分を行い、電子の加速度に相当するものを求めればよかった。
しかし、せっかく波動関数\(\psi_n(x)\)というものが得られているんだから、その関数にも何らかの物理的意味を与えたい。そこでボルンによって提唱されたのが、
波動関数の確率解釈
だ。これを説明しよう。
2.確率解釈
物質波の物質密度・運動量密度のページで紹介したように、当初シュレディンガーは\(|\psi(x)|^2\)が物質密度を表すと考えていた。この見方だと、電子は空間的にある幅をもって分布しているということになる。ということは、何らかの実験で、例えば1つの電子が2つに分かれて観測されることがあってもいいはずだ。
しかし、どんな実験でも、電子がスクリーンに残す像は点だけだし、電荷や質量も必ずある最小単位の整数倍になっていた。
つまり、この\(|\psi(x)|^2\)が物質密度であるという解釈は、どう考えても実験とは相容れないものなのだ。そこで違う解釈が提唱された。
まず電子は必ず粒子的に検出されるものだ。そこで\(|\psi(x)|^2\)が物質密度である、という解釈を少しひねって、\(|\psi(x)|^2\)は電子が\(x\)にいることの確率密度を表すのだ、と解釈してみてはどうか。つまり、電子が\(x～x+dx\)に存在する確率は\(|\psi(x)|^2dx\)で与えられるということだ。ボルンが提唱したこの解釈が、現在の量子力学では標準的なものになっている。
このように考えるとき、波動関数は必ず
\[\int|\psi(x)|^2dx=1\tag{3}\]
を満たすはずだろう。なぜなら、電子は空間の何処かには必ず存在しないといけないからだ。このように、波動関数を電子位置の確率密度と考える解釈では、(3)式によって規格化が行われ、波動関数の振幅が決定される。
ここまで話しておいてなんだが、「電子が\(x～x+dx\)に存在する確率は\(|\psi(x)|^2dx\)で与えられる」という言い方は、厳密には正しくない。量子の性質を正しく言い表すなら、本当は、「電子が\(x～x+dx\)に観測によって見出される確率は\(|\psi(x)|^2dx\)で与えられる」と言わないといけないのだが、このへんは不確定性関係を説明するときにもう少し詳しく話すことにしよう。
3.波動関数の時間発展
時間依存を含めたシュレディンガー方程式は
\[\hat{H}\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x,t) = -i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}\tag{4}\]
と書かれる。(1)の時間を含まないシュレディンガー方程式と比べて、このときの波動関数\(\psi(x,t)\)はもちろん時間によって変化する。この波動関数はどのように解釈するか。
まあそこまで考えることでもない。電子が時間に対して連続的に移動していると考えるなら、\(|\psi(x,t)|^2\)が時刻
\(t\)というある瞬間で\(x\)という位置に電子が存在するということの確率密度である、と考えるのが自然だろう。