1.連続固有値の場合の直交性
シュレディンガー方程式
\[\hat{H}\left(x,-i\hbar\frac{d}{dx}\right)\psi(x) = E\psi(x)\tag{1}\]
のエネルギー固有値\(E\)が離散的で、\(E_n\)のように表す事ができるときには、その固有関数\(\psi_n\)同士が直交していて、必ず
\[\int\psi_m^*(x)\psi_n(x)dx=\delta_{mn}\tag{2}\]
を満たすことを
前回示した。
連続固有値の場合にも、シュレディンガー方程式の解には(2)に相当する関係が必ず成り立つことが示されるそうだ。それは
\[\int\psi_E^*(x)\psi_{E'}(x)dx=\delta(E-E')\tag{3}\]
のように、デルタ関数を用いて表記される。これを示すのはとっても難しそうだしやめておこう。(一応教科書を見ながらがんばってみたんだが、今のところは
諦めてしまった。)
(3)のような関係を作ることができる、というのは認めて、(3)を満たす固有関数はどういうものになるのか考えてみよう。
2.固有関数の規格化とデルタ関数
例えば自由粒子
\[\psi_k(x)=Ae^{ikx}\tag{4}\]
を考えてみよう。この関数を(3)によって規格化すると言うのはどういうふうにやればいいだろうか。
エネルギーの話をしていたのに、と思う人には少し説明しよう、この関数のエネルギー固有値は
\[E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\tag{5}\]
だから、\(E\)によって書くなら、
\[\psi_E(x)=Ae^{i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x} + Be^{-i\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}x}\tag{6}\]
となる。\(k=\pm\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\)だからこのように重ね合わせないといけないのだ。エネルギーについての議論をしたいのなら、(6)を使いながら考えて行くのがスジなのかもしれないが、いかんせん面倒くさそうなので、(5)を使って考えてみることにする。
(5)についても、(3)のような直交規格化条件を成り立たせることができる。つまり、
\[\int_{-\infty}^\infty\psi_k^*(x)\psi_{k'}(x)dx=\delta(k-k')\tag{7}\]
とできるはず。そこで(4)を代入してみると、
\[|A|^2\int_{-\infty}^\infty e^{i(k'-k)x}dx=\delta(k-k')\tag{8}\]
が成り立つ。この式の意味を少し考えてみよう。
ここでデルタ関数というのについて思い出してみよう。デルタ関数というのは、任意の(適当な条件がつくんだとは思うけど)関数\(f(k)\)について
\[\int_{-\infty}^\infty f(k)\delta(k)dk=f(0)\tag{9}\]
を満たす関数だった。で、理学系の授業は受けたことがないから知らないが、工学系の授業では、(9)を満たす\(\delta\)という関数は
\[\delta(k)=\left\{\begin{array}{cc}0 &(k\neq 0)\\\infty &(k=0)\end{array}\right.\tag{10}\]
という感じになっているはずでしょ？という感じにもっともらしく黒板に書かれることもあるだろう。確かに最初の理解のためにはこういうことも必要かもしれないが。でも、この(10)式の考え方は、量子力学を勉強するときには、完全に捨て去ってしまわないといけない。なぜなら、(10)というのはまったくもって間違っているからだ。デルタ関数というのは、(9)式だけが定義である。
そもそも、\(k\neq k'\)のとき、
\[\int_{-\infty}^\infty e^{i(k'-k)x}dx\tag{8左辺の積分}\]
という積分は全く収束しない。被積分関数が単純な波だから、無限遠では振動し続けるだけだ。したがって、実は(8)式というのは、そのままでは全く意味の分からないものである。なにせ左辺にあるものは、なんだかよくわからない収束すらしていない謎の量なのだから。
ということで、(9)を踏まえると、(8)というのは適当な関数\(f(k)\)をかけて\(k\)によって積分したときに始めて意味が見えてくるものなのだ。
つまり、
\[|A|^2\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(k)e^{i(k'-k)x}dxdk=f(k')\tag{11}\]
が(8)の本来の姿だ。そこで少し変形すると、
\[|A|^2\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty f(k)e^{-ikx}dk\right)e^{ik'x}dx=f(k')\tag{12}\]
となる。(12)式はフーリエ変換・逆変換そのもので、
\[|A|^2=\frac{1}{2\pi}\]
とすれば(12)が成り立つことがわかるから、まあ複素数は使わずに\(A=1/\sqrt{2\pi}\)としよう。
そんなわけで、
\[\psi_k(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}\tag{13}\]
が、規格化した固有関数となる。これなら、(12)を満たし、つまり(8)の条件を満たすからだ。
3.規格化の任意性
任意性、というのもちょっと変かもしれないが、(13)のような規格化固有関数は、ラベルを何に取るかによって変化する。
例えば、\(\psi_k(x)\)という固有関数のラベルとしてはなんとなく波数\(k\)にとって区別していたが、\(k\)を定数倍aしたラベル\(\kappa=ak\)を使って区別しても、\(k\)と\(\kappa\)に一対一対応がついているのだから問題無いはずだ。
ではこの\(\kappa\)を使った場合、固有関数はどうなるか考えてみると、
\[|A|^2\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty f(\kappa)e^{-i\kappa x/a}d\kappa\right)e^{i\kappa' x/a}dx=f(\kappa')\tag{13}\]
を満たすようにしないといけなくて、
このときには、
\[|A|^2=\frac{1}{2\pi a}\]
つまり
\[\psi_\kappa(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi a}}e^{i\kappa x/a}\]
が規格化された固有関数である。こういう変なことが起きるのが、連続固有値の場合の嫌なところだ。
もうひとつ変な例を出してみよう。\(\kappa=k^3\)としても別に問題なく一対一対応がつくからこのときには、
\[|A|^2\int_{-\infty}^\infty\left(\int_{-\infty}^\infty f(\kappa)e^{-i\kappa^{1/3} x}d\kappa\right)e^{i\kappa'^{1/3} x/a}dx=f(\kappa')\tag{14}\]
を満たさせるようにしないといけない。このときは、じつは\(A\)を定数ではなく\(\kappa\)に関係する量\(A_\kappa\)にしないといけない。ちょっと変数変換するだけだが、このときは、
\[\psi_\kappa(x)=\frac{\kappa^{-1/3}}{\sqrt{6\pi}}e^{i\kappa^{1/3}x}\]
というのが規格化固有関数である。
4.規格化についての一般論
上で見たように連続固有値の場合には、変数\(\alpha\)について波動関数が規格化されていても、\(\alpha\)と一対一対応をつけた変数\(\beta\)については波動関数は規格化されていない。そこでこの規格化の一般的な計算公式を作ってみよう。
まず、変数\(\alpha\)について規格化されている波動関数\(\psi_\alpha(x)\)があるとする。規格化されているのだから、
\[\int\psi^*_\alpha(x)\psi_{\alpha'}(x)dx = \delta (\alpha-\alpha')\tag{14}\]
を満たす。ではこのとき、\(\alpha\)と一対一対応をつけた\(\beta=\beta(\alpha)\)という新しい変数によってラベル付けされた波動関数\(\psi_\beta(x)\)が、
\[\int\psi^*_\beta(x)\psi_{\beta'}(x)dx = \delta (\beta-\beta')\tag{15}\]
という規格化条件を満たすには、\(\psi_\beta\)はどのように定義すればいいだろうか。ただし今回は\(\beta(\alpha)\)というのは単調増加な関数であるとしておく。
\(\psi_\alpha\)から\(\psi_\beta\)を作り出すために、上でやったのと同じように、
\[\psi_\beta=A_\alpha\psi_\alpha\tag{16}\]
のように、\(A_\alpha\)という\(\alpha\)に関係する量をかけて計算してみる。(16)を(15)に代入して、
\begin{align}
\int A_\alpha^*\psi^*_\alpha(x)A_{\alpha'}\psi_{\alpha'}dx &= \delta (\beta-\beta') \\
A_\alpha^*A_{\alpha'}\int\psi^*_\alpha(x)\psi_{\alpha'}dx &= \delta (\beta-\beta') \\
A_\alpha^*A_{\alpha'}\delta(\alpha - \alpha') &= \delta (\beta-\beta')
\end{align}
デルタ関数と言うのは積分しないと意味の分からないものだったから、積分する。積分は\(\alpha'\)についてやればいいだろう。 (別に\(\alpha,\beta,\beta'\)のどれを使ってもいい。)
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty A_\alpha^*A_{\alpha'}\delta(\alpha - \alpha') d\alpha' &= \int_{-\infty}^\infty \delta (\beta-\beta') d\alpha'\\
|A_\alpha|^2 &= \int_{-\infty}^\infty \delta (\beta-\beta') d\alpha'
\end{align}
\(\beta\)というのは\(\alpha\)と一対一対応がついていたのだから、当然\(\alpha=\alpha(\beta)\)のように表せる。だから、
\begin{align}
|A_\alpha|^2 &= \int_{-\infty}^\infty \delta (\beta-\beta') \frac{d\alpha'(\beta')}{d\beta'}d\beta'\\
&= \int_{-\infty}^\infty \delta (\beta-\beta') \frac{d\alpha'(\beta')}{d\beta'}d\beta'\\
&=\frac{d\alpha(\beta)}{d\beta}
\end{align}
となる。最後は、\(\alpha\)と\(\alpha'\)の関数形が同じであることを使った。
したがって、結局、
\[|A_\alpha| = \sqrt{\frac{d\alpha(\beta)}{d\beta}}\]
となって、位相を無視するなら、
\[A_\alpha = \sqrt{\frac{d\alpha(\beta)}{d\beta}}\tag{17}\]
が得られる。
以上の計算から、一般に\(\alpha\)について(14)のように規格化されている波動関数\(\psi_\alpha\)があったとき、\(\alpha\)と一対一対応をつけた違う変数\(\beta\)について規格化された波動関数は
\[\psi_\beta(x) = \sqrt{\frac{d\alpha(\beta)}{d\beta}}\psi_{\alpha(\beta)} (x)\tag{18}\]
となることがわかった。こんなふうに、連続固有値をもつ波動関数の規格化はどういう変数によって行われたかが非常に重要となる。
あんまり授業でやらないような内容だろうけど、こういうところを考えると理解が進んでいく気がするんだ。