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電磁場の波動方程式


1.電場・磁場の波動方程式

今回は、

電磁波

という現象について、理論的に導出していくことにする。

ただ、そう簡単に思いつくような式変形では無いから、もう天下り式に式変形を与えてしまおう。 \begin{align}  \rot\b{B}&=\mu_0\b{J}+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial \b{E}}{\partial t} \tag{1}\\  \rot(\rot \b{B}) &= \rot\left[\mu_0\b{J} + \epsilon_0\mu_0\frac{\partial\b{E}}{\partial t}\right] \\  \grad(\Div\b{B}) - \nabla^2\b{B} &= \mu_0\rot\b{J} + \epsilon_0\mu_0\frac{\partial(\rot\b{E})}{\partial t} \\ -\nabla^2\b{B} &= \mu_0\b{J} - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\b{B}}{\partial t^2}~~~~~~~ \left(\because \rot \b{E} = -\frac{\partial \b{B}}{\partial t} , \Div \b{B} = 0 \right) \\  \nabla^2\b{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\b{B}}{\partial t^2} &= \mu_0\b{J} \tag{2} \end{align} のように変形していくこととなる。一番最初の(1)式はマクスウェル方程式の誘導磁場を表す式だった。そこにrot演算を施し、\(\rot(\rot)=\grad(\Div)-\nabla^2\)を使いながら変形した。(ベクトル解析公式集参照)

もうひとつ、電場についてもやっておこう。基本的な流れは同じだ。 \begin{align} \rot \b{E} &= -\frac{\partial \b{B} }{\partial t} \tag{3}\\ \rot(\rot\b{E}) &= -\rot\left(\frac{\partial \b{B}}{\partial t}\right) \\ \grad(\Div\b{E}) - \nabla^2\b{E} &= -\frac{\partial(\rot\b{B})}{\partial t} \\ \grad\rho-\nabla^2\b{E} &= -\mu_0\frac{\partial\b{J}}{\partial t} - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \b{E}}{\partial t^2} ~~~~~~~~(\because \rot \b{B} = \mu_0\b{J} + \epsilon_0\mu_0\frac{\partial \b{E}}{\partial t}, \Div{E} = \rho)\\ \nabla^2\b{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \b{E}}{\partial t^2} &= \grad\rho+\mu_0\frac{\partial\b{J}}{\partial t} \tag{4} \end{align} のような式を得ることができる。電場と磁場でまとめると、 \begin{align} \nabla^2\b{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\b{B}}{\partial t^2} &= \mu_0\b{J} \tag{2}\\ \nabla^2\b{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \b{E}}{\partial t^2} &= \grad\rho+\mu_0\frac{\partial\b{J}}{\partial t} \tag{4} \end{align} となっていて、そこまで対称的な式では無い。もっとも、電流も電荷も無いJ=0, ρ=0の条件下では、 \begin{align} \nabla^2\b{B}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2\b{B}}{\partial t^2} &= 0 \tag{2'}\\ \nabla^2\b{E}-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \b{E}}{\partial t^2} &= 0 \tag{4'} \end{align} という式が出てきて、対称的になるし、一般的な波動方程式の形となる。(そのうち波動方程式を力学のほうで書きたいとは思う。)

それでも、実際に電磁波という現象を取り扱うには、電磁場の源となるものを使わないわけには行かない。つまり電流や電荷は0でない系を考えないと、現実の現象を理解できないのだ。そういう系を考えるには(2)や(4)式は結構煩雑で、面倒くさい式になっている。そこで考えるのが、ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルの波動方程式である。

2.ポテンシャルの波動方程式

もう覚えていないかもしれないが、前々回(マクスウェル方程式の性質とポテンシャル(2))で導いた、ベクトル・スカラーポテンシャルに関するマクスウェル方程式、 \begin{align} \frac{\partial}{\partial t}(\Div\b{A})+\nabla^2\phi&=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\tag{5} \\ \grad\left(\Div\b{A}+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \b{A}}{\partial t^2}-\nabla^2\b{A}&=\mu_0\b{J}\tag{6} \end{align} を使ってこれらの波動方程式を導いていく。とはいっても、(6)式をよく見てみて欲しい。すでに \[\epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \b{A}}{\partial t^2}-\nabla^2\b{A}\] という波動方程式っぽい部分が現れているではないか。つまり、もし、 \[\Div\b{A}+\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\phi}{\partial t}=0\tag{7}\] であれば、(6)式は特に何もせずとも波動方程式になっている。実は、(7)式は成り立つようにすることができるのだ。前回のゲージ変換を思い出そう。任意のスカラー値関数\(\chi\)を用いて、 \begin{align} \b{A}'&=\b{A}+\grad\chi \tag{8} \\ \phi'&=\phi-\frac{\partial\chi}{\partial t} \tag{9} \end{align} というように新しいベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルを定義することができるのだった。

そこで、ある適当なベクトルポテンシャル\(\b{A}_0\)とスカラーポテンシャル\(\phi_0\)があったとして、それを(7)式を満たすようにゲージ変換することを考える。どんな関数を使えばうまくいくだろうか?
変換後のポテンシャルを\(\b{A}'_0,\phi'_0\)とすると、 \begin{align} \b{A}'_0&=\b{A}_0+\grad\chi \\ \phi'_0&=\phi_0-\frac{\partial\chi}{\partial t} \end{align} となる。だから、これらが(7)式を満たしているならば、関数\(\chi\)は \[\Div\left(\b{A}_0+\grad\chi\right)+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\phi_0-\frac{\partial\chi}{\partial t}\right)=0\tag{10}\] を満たしているはずである。逆に言えば、(10)式の微分方程式を満たす\(\chi\)をとってくれば、いつでも(7)式を満たすようにできるということだ。

ということで、(7)式はいつでも満たすようにできる。(7)式のことを

ローレンツ条件

という。(ちなみに、最初に提唱したのはローレンツ力のローレンツとは違うローレンツさんらしい。)

さらに(7)式が成り立っているなら、\(\Div\b{A}=-\epsilon_0\mu_0\frac{\partial\phi}{\partial t}\)だから、これを(5)式に代入すれば、まったく同じ形式のスカラーポテンシャルについての波動方程式が得られる。まとめて書くと、 \begin{align} \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}-\nabla^2\phi&=\frac{\rho}{\epsilon_0}\tag{5'} \\ \epsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 \b{A}}{\partial t^2}-\nabla^2\b{A}&=\mu_0\b{J}\tag{6'} \end{align} これは非常に対称的で綺麗な式だと思える。特に、相対性理論ではスカラーポテンシャルをベクトルポテンシャルの一成分としてみるからさらに都合がよい。

と、今回は、電場・磁場の波動方程式なんかよりも、ベクトルポテンシャルの波動方程式のほうが断然綺麗な形でまとまることがわかった。特に、(5'),(6')式は、ベクトルポテンシャルが電流によって、スカラーポテンシャルが電荷によって発生していることがよく分かる形になった。また、電場・磁場の波動方程式は、マクスウェル方程式にさらにrot演算をするというよくわからない方法によって導き出されたが、その一方で、上の導出からもわかるようにベクトルポテンシャルの波動方程式は、マクスウェル方程式そのものである。やはり、ベクトルポテンシャルこそ本質的なものであるような気がしてくる。

次回はこの波動方程式の解を考えていく。