マクスウェル方程式をポテンシャルで書く。
マクスウェル方程式
\begin{align}
\Div (\epsilon_0\b{E}) &= \rho \tag{1}\\
\Div \b{B} &= 0 \tag{2}\\
\rot \b{E} &= -\frac{\partial \b{B}}{\partial t} \tag{3}\\
\rot \b{B} &= \mu_0\left( \b{J} + \epsilon_0\frac{\partial \b{E}}{\partial t}\right) \tag{4}
\end{align}
のうち(2)と(3)式は、
ベクトルポテンシャル
\(\b{A}\)と
スカラーポテンシャル
\(\phi\)を用いて、
\begin{align}
\b{B}&=\rot\b{A} \tag{5}\\
\b{E} &= -\frac{\partial \b{A}}{\partial t}-\grad\phi \tag{6}
\end{align}
と電場・磁場を定義すれば自動的に満たされることを前回導いた。そこで、今回は(1)と(4)に(5)と(6)を代入し書き換える。
(1)は
\begin{align}
\epsilon_0\Div \b{E}&=\epsilon_0\Div\left(-\frac{\partial \b{A}}{\partial t}-\grad\phi\right) \\
&= -\epsilon_0\left(\frac{\partial}{\partial t}(\Div\b{A})+\nabla^2\phi\right)
\end{align}
となるから、(ただし、\(\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\)である。)
\[\frac{\partial}{\partial t}(\Div\b{A})+\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\tag{7}\]
を得る。
さらに(4)式は、
\begin{align}
\rot \b{B}&=\rot(\rot\b{A}) \\
&= \grad(\Div\b{A})-\nabla^2\b{A}\\
\mu_0\left( \b{J} + \epsilon_0\frac{\partial \b{E}}{\partial t}\right)
&= \mu_0\b{J}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{\partial \b{A}}{\partial t}-\grad\phi\right)\\
&= \mu_0\b{J}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \b{A}}{\partial t^2}-\mu_0\epsilon_0\grad\frac{\partial\phi}{\partial t}
\end{align}
となるから、(途中で
ベクトル解析公式rot(rot A)=grad(div A)-Δ Aを使った。)
\[\grad\left(\Div\b{A}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \b{A}}{\partial t^2}-\nabla^2\b{A}=\mu_0\b{J}\tag{8}\]
である。
これでとりあえず書き換えられた。
ベクトルポテンシャルによるマクスウェル方程式
上で書き換えたのをまとめて書いておく。
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial t}(\Div\b{A})-\nabla^2\phi&=-\frac{\rho}{\epsilon_0}\tag{7} \\
\grad\left(\Div\b{A}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \b{A}}{\partial t^2}+\nabla^2\b{A}&=\mu_0\b{J}\tag{8}
\end{align}
人によるかも知れないが、これが綺麗な式だと感じるのは少数派なんじゃないだろうか?少なくとも僕には綺麗に見えない。
でも、こんな式でも、マクスウェル方程式の本質を表すことができている。と、いうのも、方程式の数と未知数の数を見比べて欲しい。未知数はベクトルポテンシャルの3つの成分とスカラーポテンシャルで合わせて4つ。それに対して(7)式はスカラーの方程式であり、(8)式は三次元のベクトル方程式だから(7)と(8)を合わせて4本の方程式になっている。
前回話したように、電場・磁場で表したマクスウェル方程式(1)~(4)は6つの未知数に対して8本の方程式があって、明らかに2本は無駄なものがあったわけだ。一方、ベクトルポテンシャル・スカラーポテンシャルで表したマクスウェル方程式では、
未知数の数と、方程式の数が一致している。これは大きな進歩だ。
しかも、電場・磁場で書いた時には6個あったようにみえた未知数の数が、(7),(8)式では4個に減っている。これによって、方程式を解くときに見通しが良くなるのは明らかだ。さらに、電場・磁場のあわせて6成分のうち、多くとも4成分しか独立には決められないこともわかる!
こんなふうに、ベクトルポテンシャル・スカラーポテンシャルを導入することによって、色々な恩恵が受けられるし、とりあえず物理的な実在としては受け入れられなくても、まずは色々いじくってみる価値はありそうじゃないか。
次はゲージ変換と波動方程式。