ベクトル解析公式集
特に証明とかは載せていない。単純な計算で出るものがほとんどだし、単純でないものは感覚的に理解するしか仕方がない。僕には何もみずにガウスの定理やストークスの定理なんかを厳密に証明する力はないし、そこまでの力を身につけようとも思っていない。あくまで数学は物理の道具であるという認識だから。しかしもしかしたら、そのうち証明の計算を載せることもあるかもしれない。
(数学に詳しい人から見たら前提条件を説明してなさ過ぎておこられてしまうかも。)
外積→内積
\[\b{A}\times(\b{B}\times\b{C}) = (\b{A}\cdot\b{C})\b{B} - (\b{A}\cdot\b{B})\b{C}\]
外積巡回置換の和
\[\b{A}\times(\b{B}\times\b{C})+\b{C}\times(\b{A}\times\b{B}) + \b{B}\times(\b{C}\times\b{A}) = 0\]
ベクトル三重積
\[\b{A}\cdot(\b{B}\times\b{C})=\b{C}\cdot(\b{A}\times\b{B})\]
ベクトル三重積(2)
\[\b{p}_i = \left(\begin{array}{c}p_{1i}\\p_{2i}\\p_{3i}\end{array}\right)に対して、\b{p}_1\cdot(\b{p}_2\times\b{p}_3)=\left|\begin{array}{ccc}p_{11}&p_{12}&p_{13}\\p_{21}&p_{22}&p_{23}\\p_{31}&p_{32}&p_{33}\end{array}\right|\]
勾配ベクトルの回転
\[ \rot(\grad\phi) = 0\]
回転の発散
\[ \Div(\rot\b{F}) = 0\]
rot(rot)
\[ \rot(\rot \b{F})= \grad(\Div \b{F}) - \Delta \b{F}\]
ポテンシャルの存在・保存力
\begin{align}
\rot\b{F}=0 &\iff \b{F}=\grad\phi \text{となる}\mathrm{C}^2\text{級スカラー場}\phi\text{が存在する。}\\\\
&\iff \text{点A,Bを結ぶ経路Lについて}\int_L\b{F}\cdot d\b{l}\text{がLのとり方によらない。}
\end{align}
ベクトルポテンシャルの存在
\[
\Div\b{F}=0 \iff \b{F}=\rot \b{A} ベクトル場\b{A}が存在する。
\]
δ関数と発散
ベクトル\(\b{r}\)に関して、次が成り立つ。(\(|\b{r}| = r\)とした。)
\[
\Div\frac{\b{r}}{r^3} = 4\pi\delta(r)
\]
ナブラ\(\nabla\)の座標変換
\begin{align}
\nabla &= \frac{\partial}{\partial x}\b{e}_x+\frac{\partial}{\partial y}\b{e}_y+\frac{\partial}{\partial z}\b{e}_z &:直交座標系 \\\\
&= \frac{\partial}{\partial r}\b{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\b{e}_\theta+\frac{\partial}{\partial z}\b{e}_z &:円柱座標系(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z) \\\\
&= \frac{\partial}{\partial r}\b{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \theta}\b{e}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}\b{e}_\phi &:球極座標系(x=r\cos\phi\sin\theta,y=r\sin\phi\sin\theta,z=r\cos\theta)
\end{align}
ラプラシアン\(\Delta\)の座標変換
\begin{align}
\Delta &= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} &:直交座標系 \\\\
&= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} &:円柱座標系(x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, z=z) \\\\
&= \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} &:球極座標系(x=r\cos\phi\sin\theta,y=r\sin\phi\sin\theta,z=r\cos\theta)
\end{align}
曲線の微小線素・長さ
ある曲線\(C\)についてそのパラメタ表示が\(\b{r}=\b{r}(t)\)であったとすると、その長さ\(L\)は
\[ L=\int_Cdl=\int_C \left|\left|\frac{\partial\b{r}}{\partial t}\right|\right| dt \]
曲面の微小面積素・面積
3次元空間のある曲面\(S\)についてそのパラメタ表示が\(\b{r}=\b{r}(u,v)\)であったとすると、その面積Aは
\[ A=\iint_SdS=\iint_S \left|\left|\frac{\partial\b{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\b{r}}{\partial v}\right|\right| dudv \]
立体の微小体積素・体積
3次元空間のある領域\(D\)についてそのパラメタ表示が\(\b{r}=\b{r}(u,v,w)\)であったとすると、その体積Vは
\[ V=\iiint_DdV=\iiint_D \left|\left\{\frac{\partial\b{r}}{\partial u}\times\frac{\partial\b{r}}{\partial v}\right\}\cdot\frac{\partial\b{r}}{\partial w}\right| dudvdw \]
ガウスの定理
閉曲面\(S\)に囲まれた空間\(V\)について、\(\b{n}\)を\(S\)の法線ベクトルとして、
\[ \int_V \Div \b{F} dV=\int_S \b{F}\cdot \b{n} dS \]
ストークスの定理
境界線\(C\)に囲まれた曲面\(S\)について\(\b{n}\)を\(S\)の法線ベクトルとして、
\[\int_S \rot\b{F}\cdot \b{n}dS = \int_C \b{F}\cdot d\b{l}\]