1.曲面の表し方
今回からは3次元空間中の曲面についての話をしよう。曲面は二次元だから、一般に2つのパラメータによって表すか、1つの方程式を満たす点の集合として表す。例えば球面なら、
\[x^2+y^2+z^2=1\]
と表してもいいし、2つのパラメータ\(\theta,\phi\)を使って
\[(x,y,z)=(\sin\theta\cos\phi,\sin\theta\sin\phi,\cos\theta)\]
ともできる。大概の場合はパラメータ表示を使ったほうが便利なので、これからは曲面を、
\[\b{p}=\b{p}(u^1,u^2)\]
のように表す。ちなみに上付き文字はべき乗を表すものではなくただの添字だ。これからリーマン幾何、相対性理論につなげていくための布石である。
2.曲面上の曲線の長さ・曲面に沿った距離
曲面上\(\b{p}(u^1,u^2)\)に描かれた曲線はどのように表されるだろうか。そんなに難しくはない。曲線はひとつのパラメータによって表されるのだから、なにか適当なパラメータtを用意してやって、
\[\b{x}(t)=\b{p}\left(u^1(t),u^2(t)\right)\tag{1}\]
と定義してやればよい。こうすれば自動的に曲線は曲面上に存在するようになる。その長さを求めてみよう。
前も触れたが、曲線の長さは、
\[s = \int_a^b \left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|dt\]
と表される。これを計算するには\(\b{x}\)の微分を計算しないといけない。(1)式のように定義されている曲線をtによって微分すると、合成関数の微分則から、
\begin{align}
\frac{d\b{x}}{dt}&=\frac{d\b{p}}{dt}\\
&=\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\frac{du^1}{dt}+\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\frac{du^2}{dt}
\end{align}
となる。したがって曲線の長さsは、
\begin{align}
s&=\int_a^b \left|\frac{d\b{p}}{dt}\right| dt \\\\
&=\int_a^b \sqrt{\frac{d\b{p}}{dt}\cdot\frac{d\b{p}}{dt}} dt \\\\
&=\int_a^b \sqrt{\left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\right)^2\left(\frac{du^1}{dt}\right)^2 + 2\left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\right)\frac{du^1}{dt}\frac{du^2}{dt} + \left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\right)^2\left(\frac{du^2}{dt}\right)^2 }~~dt
\end{align}
となる。ベクトル量の二乗という本来してはいけない表現をしてしまったが、それは自身との内積を表しているものだと思ってもらいたい。つまり\(\b{a}^2=\b{a}\cdot\b{a}\)である。
これだけではなんだかつまらないが、実はもう少し変形すると、Riemann幾何学や相対論において
計量
と呼ばれるものが現れるのだ。
まず微小線素\(ds\)がどうなるか考える。\(ds\)というのは
\[s=\int ds\]
となるような微小量のことで、もう少しいうなら、パラメータtが\(dt\)だけ変化した時に現れる曲線の長さのことである。形式的にさっきの式と見比べると、
\[ds=\sqrt{\left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\right)^2\left(\frac{du^1}{dt}\right)^2 + 2\left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\right)\frac{du^1}{dt}\frac{du^2}{dt} + \left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\right)^2\left(\frac{du^2}{dt}\right)^2 }~~dt\]
となっていることがわかる。さらに形式的に\(dt\)を約分してしまって、
\[ds=\sqrt{\left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\right)^2 (du^1)^2 + 2\left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\right) du^1du^2 + \left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\right)^2 (du^2)^2}\]
このようにtを消した時点で、ある特定の曲線について考えるのをやめてしまっていることを注意しておこう。これによって結構一般性が増す。この式は、もはやある特別な曲線について考えているのではないから、微小に異なる2つの点の間を結ぶ色々な曲線の長さを求めるのに使えるのだ。しかしルートが鬱陶しいので二乗を考えよう。そうすると
\begin{align}
ds^2 &= \left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\right)^2 (du^1)^2 + 2\left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\right) du^1du^2 + \left(\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\right)^2 (du^2)^2 \\\\
&= \left(\begin{array}{cc} du^1 & du^2 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1} & \frac{\partial\b{p}}{\partial u^1}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2} \\
\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^1} & \frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^2}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} du^1 \\ du^2\end{array}\right) \\\\
&= \sum_i\sum_j \frac{\partial\b{p}}{\partial u^i}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^j} du^idu^j
\end{align}
のような形に書くことができる。ここで、\(g_{ij}=\frac{\partial\b{p}}{\partial u^i}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^j}\)と置くことにすれば、
\[ds^2 = \sum_i\sum_j g_{ij}du^idu^j\tag{2}\]
となる。この(2)式が表しているのは、考えている曲面に沿った、曲面上の点\(\b{p}(u^1,u^2)\)と\(\b{p}(u^1+du^1,u^2+du^2)\)の距離だ。平面の場合は、
\[ds^2=dx^2+dy^2\tag{3}\]
であったことと比較するとわかりやすいかもしれない。これは\(g_{ij}\)が単位行列となるときに対応するわけだ。また、この(3)式はピタゴラスの定理そのものなので、(2)は曲面上において「ピタゴラスの定理」を一般化したものだと考えることもできる。ピタゴラスの定理が平面上の幾何学で中学校でみんなが習うくらい重要だったのと同じように、(2)式は曲面の性質を調べる上で無くてはならない式である。
3.第一基本形式
上の式
\[ds^2 = \sum_i\sum_j g_{ij}du^idu^j\tag{2}\]
を
第一基本形式
と呼ぶ。ちなみに行列Gを以下のように、
\[G = \left(\begin{array}{cc} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{array}\right)\]
と定義すれば、このGは対称行列であり、(2)式は
\[ds^2=\left(\begin{array}{cc} du^1 & du^2 \end{array}\right)G\left(\begin{array}{c} du^1 \\ du^2\end{array}\right) \]
とも書き直せる。これからGは正定値行列(少なくとも半正定値)であることが予想できる。なぜなら、任意の\(\left(\begin{array}{cc} du^1 & du^2 \end{array}\right)\)について、必ず0以上になっていなければ、左辺が線素dsの二乗であるというこの式と相容れなくなってしまうから。
そして、この\(g_{ij}\)がリーマン幾何学で
計量
と呼ばれる量である。今回はこのくらいにしておこう。