1.正弦波解
電信方程式の解を求めましょう。前回
\[
\left\{
\begin{align}
V(x,t)&=V(x)e^{j\omega t} \\\\
I(x,t)&=I(x)e^{j\omega t}
\end{align}
\right.
\]
という仮定をしたので、時間偏微分は
\[\frac{\partial V}{\partial t}=j\omega V\]
となります。電流についても同様です。したがって、電信方程式は、
\[
\left\{
\begin{align}
\frac{dV}{dx} &= -\left(R+j\omega L\right)I \\
\frac{dI}{dx} &= -\left(G+j\omega C\right)V
\end{align}
\right. \tag{1}
\]
と書き換えられます。どちらでも良いので、上の二式のうち一つをxで微分してもう一方に代入しましょう。すると
\[
\left\{
\begin{align}
\frac{d^2V}{dx^2} &= \left(R+j\omega L\right)\left(G+j\omega C\right)V \\
\frac{d^2I}{dx^2} &= \left(R+j\omega L\right)\left(G+j\omega C\right)I
\end{align}
\right.
\]
電流電圧について同じ微分方程式が得られます。
ここで\(\theta^2=\left(R+j\omega L\right)\left(G+j\omega C\right)\)とおくと、電圧についての方程式の解は、
\[
V(x)=K^+e^{-j\theta x} + K^-e^{j\theta x}
\]
の形になります。定数\(K^+\)は進行波の成分ですから、添字を+としました。これを(1)式に代入すれば、
\[
I(x)=\frac{\theta}{R+j\omega L}\left(K^+e^{-j\theta x} - K^-e^{j\theta x}\right)
\]
が得られますが、最初の係数\frac{\theta}{R+j\omega L}の逆数がインピーダンスの単位を持つことに注目して、(\(K^+,K^-\)は電圧ですからそうなっていないとおかしいですね。)
\[
Z_0 = \frac{R+j\omega L}{\theta} = \sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}
\]
としましょう。この\(Z_0\)を特性インピーダンス
といいます。
今回は電圧から先に解いたので、係数\(K^+,K^-\)が基準となっていますが、別に電流から解いてもいいわけです。しかし、どんな教科書をみても電圧基準で書いてあるので、これが慣例なのでしょう。そういう慣例に逆らうと大変なので、逆らうのはやめときます。
なにはともあれ、解けました。時間依存の項も示してまとめておくと、
\[
\left\{
\begin{align}
V(x,t)&=\left[K^+e^{-j\theta x} + K^-e^{j\theta x}\right]e^{j\omega t} \\\\
I(x,t)&=\frac{1}{Z_0}\left[K^+e^{-j\theta x} - K^-e^{j\theta x}\right]e^{j\omega t}
\end{align}
\right.
\]
と、このようになります。