1.状態密度とはなんだったか
状態密度\(D(E)\)とは、単位体積あたり、単位エネルギーあたりの状態の数であり、あるエネルギー\(E\)以下の状態の数\(N(E)\)と
\[N(E)=\int_0^ED(\epsilon)d\epsilon\tag{1}\]
という関係があった。
前回、自由電子に関してこの状態密度を二通りの方法で計算したが、その方法はどちらも最初に\(N(E)\)を求めて、その微分として\(D(E)\)を求める、という手順を踏んでいた。
自由電子で、\(E=\hbar^2k^2/2m\)という関係があったから、球の体積を使いながら比較的簡単に計算できたが、もっと複雑なエネルギー分散\(E=E(\b{k})\)を持っているときには、そうはいかないだろう。
そこで今回は、状態密度を計算するもう一つの方法を紹介する。
2.デルタ関数の和による状態密度
状態密度は次のようにも計算できる。(というか、むしろこれが正しい表式なのだが。)
\[D(\epsilon)=\frac{1}{V}\sum_\b{k}\delta(\epsilon - E(\b{k}))\tag{2}\]
和は許される状態\(\b{k}\)全てについてとる。\(V\)は系の体積であり、単位体積あたりに直すためのものなのであんまり気にしないでいい。こういうふうに定義すると、デルタ関数の
\[\int_0^X \delta(x-x_0)dx=
\left\{\begin{array}{cc}1 & (x_0\in (0,X))\\0&(\text{otherwise})\end{array}\right.\]
という性質から、
\[N(E)=\int_0^ED(\epsilon)d\epsilon\tag{1}\]
という関係が満たされていることがわかるだろう。許される\(\b{k}\)が一つある毎に、\(N(E)\)に1足される格好になるわけだ。
3.自由電子の状態密度
せっかくなので簡単な例として、自由電子の状態密度を
\[D(\epsilon)=\frac{2}{V}\sum_\b{k}\delta(\epsilon - E(\b{k}))\tag{2}\]
から求めてみよう。2というのは、スピン縮退のための因子である。前回すでに二通りの方法の方法で求めてあるから答えはわかっている。
詳細な説明は省くが、シュレディンガー方程式
\[\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=E\psi\]
から、自由電子のエネルギーは
\[E(\b{k})=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\]
となっていることが示される。さて、こういう連続固有値を持つときには、(2)の\(\b{k}\)に関する和を積分に変換すると便利である。それには、
この前導出したように、
\[\frac{2}{V}\sum_\b{k}f(\b{k}) \to \frac{2}{(2\pi)^3}\int f(\b{k})d\b{k} \tag{3}\]
を使う。早速使ってみると、
\begin{align}
D(\epsilon)&=\frac{2}{(2\pi)^3}\int\delta(\epsilon - E(\b{k}))d\b{k} \\
&=\frac{2}{(2\pi)^3}\int\delta\left(\epsilon - \frac{\hbar^2k^2}{2m}\right)d\b{k}
\end{align}
となる。積分を球座標\(\b{k}=(k,\theta,\phi)\)で行うことにすると、
\begin{align}
D(\epsilon)&=\frac{2}{(2\pi)^3}\int_0^{2\pi}d\phi\int_0^\pi\sin\theta d\theta\int_0^\infty\delta\left(\epsilon - \frac{\hbar^2k^2}{2m}\right)k^2dk\\
&=\frac{2}{2\pi^2}\int_0^\infty\delta\left(\epsilon - \frac{\hbar^2k^2}{2m}\right)k^2dk
\end{align}
さらに変数変換をする。\(\frac{\hbar^2k^2}{2m} = s\)とすると、\(ds=\frac{\hbar^2k}{m}dk\)だから、
\begin{align}
D(\epsilon)&=\frac{1}{\pi^2}\int_0^\infty\delta\left(\epsilon - s\right)\frac{2ms}{\hbar^2}\frac{m}{\hbar^2}\sqrt{\frac{\hbar^2}{2ms}}ds\\
&=\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\int_0^\infty\delta\left(\epsilon - s\right)\sqrt{s}ds\\
&=\frac{1}{2\pi^2}\left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2}\sqrt{\epsilon}
\end{align}
となる。
結局前回と同じ結果が得られただけなのだが、こんなふうにしても計算できるんだという良い例になったと思う。