1. 時間に依存した摂動
前回は時間に依存しない摂動論を取り扱った。そこでは、\(H_0\)というハミルトニアンの固有値\(\epsilon_n\)と対応する固有状態\(\ket{n}\)がわかっている状態で、\(H_0\)に比べて十分小さな「摂動」ハミルトニアン\(H_1\)を\(H_0\)に加えたときのシュレディンガー方程式
\[(H_0+H_1)\ket{\psi}=E_n \ket{\psi}\]
を近似的に解く手法を取り扱った。
今回考えるのは、摂動ハミルトニアン\(H_1\)が時間\(t\)に依存していて、\(H_1(t)\)のようになっているような場合である。そんな風にハミルトニアンが時間に依存して変化している状況では、(1)式のように固有状態を考えることにあまり意味はない。もちろん、各時刻における固有状態を考えることはできるのだが、このような場合にはもっぱら、量子状態\(\ket{\psi(t)}\)の時間発展に興味がある場合がほとんどだ。そこで今回は
\[i\hbar\frac{d}{dt}\ket{\psi(t)}=(H_0+\lambda H_1(t))\ket{\psi(t)}\tag{1}\]
という微分方程式を近似的に解く。\(\lambda\)は前回と同じ、摂動の大きさを表すパラメータである。ただし\(t \lt 0\)では\(H_1(t)=0\)とし、\(t=0\)で摂動\(H_1(t)\)をかけ始めるような状況を考える。
2. 摂動展開
前回と同じように、
\[\ket{\psi(t)} = \ket{\psi^{(0)}(t)} + \lambda\ket{\psi^{(1)}(t)}+\lambda^2\ket{\psi^{(2)}(t)}+\cdots\]
と展開しよう。これを(1)式に代入してやると、
\[i\hbar\frac{d}{dt}(\ket{\psi^{(0)}(t)} + \lambda\ket{\psi^{(1)}(t)}+\lambda^2\ket{\psi^{(2)}(t)}+\cdots)=(H_0+\lambda H_1(t))(\ket{\psi^{(0)}(t)} + \lambda\ket{\psi^{(1)}(t)}+\lambda^2\ket{\psi^{(2)}(t)}+\cdots)\]
任意の\(\lambda\)で成り立つためには、両辺で\(\lambda\)の次数ごとに等式が成り立つ必要がある。したがって、
\begin{align}
i\hbar\frac{d}{dt}\ket{\psi^{(0)}(t)} &= H_0\ket{\psi^{(0)}(t)}\\
i\hbar\frac{d}{dt}\ket{\psi^{(1)}(t)} &= H_1(t)\ket{\psi^{(0)}(t)} + H_0\ket{\psi^{(1)}(t)} \\
i\hbar\frac{d}{dt}\ket{\psi^{(2)}(t)} &= H_1(t)\ket{\psi^{(1)}(t)} + H_0\ket{\psi^{(2)}(t)}\\
\cdots
\end{align}
を得る。これを上から順々に解いて行けば、全体の時間発展を少しずつ求めることができるだろう。
ちなみに、\(H_0\)というハミルトニアンの固有値\(\epsilon_n=\hbar\omega_n\)と対応する固有状態\(\ket{n}\)はわかっていると仮定したから、0次の式は初期条件を決めれば完全に解くことができる。ここでは\(t=0\)における初期状態を
\[\ket{\psi(0)} = \ket{\psi^{(0)}(0)} = \sum_k c_k^{(0)}(0)\ket{k}\]
とする。そうすると、係数\(c_k^{(0)}(t)\)の時間発展は、これを0次の式に代入して、
\begin{align}
i\hbar\frac{d}{dt}\sum_k c_k^{(0)}(t)\ket{k} &= H_0\sum_k c_k^{(0)}(t)\ket{k}\\
\sum_k i\frac{dc_k^{(0)}}{dt}\ket{k} &= \sum_k \omega_k c_k^{(0)}(t)\ket{k}
\end{align}
\(\ket{k}\)はハミルトニアン\(H_0\)の固有状態であり、それは必ず正規直交するように取れる。したがって上式が成り立つためには、それぞれの係数が等しくなくてはならない。よって、
\begin{align}
i\frac{dc_k^{(0)}}{dt} &= \omega_k c_k^{(0)}(t)\\
c_k^{(0)}(t) &= e^{-i\omega_k t}c_k^{(0)}(0)\tag{2}
\end{align}
が0次摂動の解である。
3. 1次摂動
次は1次の式
\[i\hbar\frac{d}{dt}\ket{\psi^{(1)}(t)} = H_1(t)\ket{\psi^{(0)}(t)} + H_0\ket{\psi^{(1)}(t)}\]
を解こう。0次の場合と同じように、
\[\ket{\psi^{(1)}(t)} = \sum_k c_k^{(1)}(t)\ket{k}\]
と展開してやる。そうすると、
\begin{align}
i\hbar\frac{d}{dt}\sum_k c_k^{(1)}(t)\ket{k} &= H_1(t)\sum_k e^{-i\omega_k t}c_k^{(0)}(0)\ket{k} + \sum_k \epsilon_k c_k^{(1)}(t)\ket{k}
\end{align}
を得る。さらに両辺から\(\bra{j}\)をかければ、
\begin{align}
i\frac{dc_j^{(1)}}{dt} &= \omega_j c_j^{(1)}(t) + \sum_k e^{-i\omega_k t}c_k^{(0)}(0)\frac{\bra{j}H_1(t)\ket{k}}{\hbar}\\
\frac{dc_j^{(1)}}{dt} + i\omega_j c_j^{(1)}(t) &= -i\sum_k e^{-i\omega_k t}c_k^{(0)}(0)\frac{\bra{j}H_1(t)\ket{k}}{\hbar}\\
\frac{d}{dt}\left(e^{i\omega_j t}c_j^{(1)}(t)\right)e^{-i\omega_j t} &= -i\sum_k e^{-i\omega_k t}c_k^{(0)}(0)\frac{\bra{j}H_1(t)\ket{k}}{\hbar}\\
\frac{d}{dt}\left(e^{i\omega_j t}c_j^{(1)}(t)\right) &= -i\sum_k e^{-i(\omega_k-\omega_j) t}c_k^{(0)}(0)\frac{\bra{j}H_1(t)\ket{k}}{\hbar}
\end{align}
として両辺を積分すれば、
\begin{align}
e^{i\omega_j t}c_j^{(1)}(t) &= -\frac{i}{\hbar}\sum_k c_k^{(0)}(0) \int_0^t e^{-i(\omega_k-\omega_j) \tau}\bra{j}H_1(\tau)\ket{k} d\tau\\
c_j^{(1)}(t) &= -\frac{i}{\hbar}e^{-i\omega_j t}\sum_k c_k^{(0)}(0) \int_0^t e^{-i(\omega_k-\omega_j) \tau}\bra{j}H_1(\tau)\ket{k} d\tau \tag{3}
\end{align}
これで1次摂動による時間発展を求めることができた。
4. 2次摂動
次は1次の式
\[i\hbar\frac{d}{dt}\ket{\psi^{(2)}(t)} = H_1(t)\ket{\psi^{(1)}(t)} + H_0\ket{\psi^{(2)}(t)}\]
を解こう。同じように、
\[\ket{\psi^{(2)}(t)} = \sum_k c_k^{(2)}(t)\ket{k}\]
と展開してやる。そうすると、
\begin{align}
i\hbar\frac{d}{dt}\sum_k c_k^{(1)}(t)\ket{k} &= H_1(t)\sum_k c_k^{(1)}(t)\ket{k} + \sum_k \epsilon_k c_k^{(2)}(t)\ket{k}
\end{align}
を得る。これまでと全く同じように両辺から\(\bra{j}\)をかければ、
\begin{align}
i\frac{dc_j^{(1)}}{dt} &= \omega_j c_j^{(2)}(t) + \sum_k c_k^{(1)}(t)\frac{\bra{j}H_1(t)\ket{k}}{\hbar}\\
\frac{d}{dt}\left(e^{i\omega_j t}c_j^{(2)}(t)\right)e^{-i\omega_j t} &= -i\sum_k c_k^{(1)}(t)\frac{\bra{j}H_1(t)\ket{k}}{\hbar}\\
\frac{d}{dt}\left(e^{i\omega_j t}c_j^{(2)}(t)\right) &= -i\sum_k e^{i\omega_j t}c_k^{(1)}(t)\frac{\bra{j}H_1(t)\ket{k}}{\hbar}
\end{align}
として両辺を積分すれば、
\begin{align}
e^{i\omega_j t}c_j^{(2)}(t) &= -\frac{i}{\hbar}\sum_k \int_0^t e^{i\omega_j \tau}c_k^{(1)}(\tau)\bra{j}H_1(\tau)\ket{k} d\tau
\end{align}
さらにさっき求めた\(c_k^{(1)}(t)\)を代入して、
\begin{align}
c_j^{(2)}(t) &= -\frac{i}{\hbar}e^{-i\omega_j t}\sum_k \int_0^t e^{-i(\omega_k - \omega_j) \tau}\sum_{m} c_{m}^{(0)}(0) \left(\int_0^\tau e^{-i(\omega_m-\omega_j) \tau'}\bra{j}H_1(\tau')\ket{m} d\tau'\right) \bra{j}H_1(\tau)\ket{k} d\tau \\
&= -\frac{i}{\hbar}e^{-i\omega_j t}\sum_k \sum_{m} c_{m}^{(0)}(0) \int_0^t d\tau \int_0^\tau d\tau' e^{-i(\omega_k - \omega_j) \tau} e^{-i(\omega_m-\omega_j) \tau'}\bra{j}H_1(\tau')\ket{m} \bra{j}H_1(\tau)\ket{k}\tag{4}
\end{align}
これで2次の摂動も求まった。3次以降はめんどくさいのでカットということにしよう。
5. 物理的解釈
摂動ハミルトニアンによる時間発展を求めることはできたものの、複雑な式だけ眺めていてもつまらない。物理的な解釈があったほうが使いやすいし、覚えやすい。そこでここまでに導出した摂動の時間発展について、少しだけ具体的な例を考えてみよう。
初期状態として、\(\ket{\psi(0)}\)が\(H_0\)のある固有状態\(\ket{n}\)にあると仮定する。まずは少し量子力学の根本原理を思い出そう。
\[\ket{\psi} = \sum_k c_k \ket{k}\]
と、ある状態が展開されていた時、それぞれの係数\(c_k(t)\)は物理的にどんな解釈がされていただろうか？この状態\(\ket{\psi}\)を何らかの方法で観測した時、\(|c_k|^2\)が\(\ket{k}\)が現れる「確率」を表しているのだった。特に今の仮定では、時刻\(t\)において状態\(\ket{\psi(t)}\)を観測し\(\ket{k}\)を現れる確率は、時刻\(t\)における、初期状態\(\ket{n}\)から終状態\(\ket{k}\)への「遷移確率」だと言っても良いだろう。
このページで紹介した摂動論では、
\[c_k(t) = c_k^{(0)}(t) + \lambda c_k^{(1)}(t) + \lambda^2 c_k^{(2)}(t) + \cdots\]
と\(\lambda\)に関して展開した。そこで\(\lambda\)の2次の項までで「遷移確率」\(|c_k|^2\)を近似すると、\(k\neq n\)の場合に、
\[|c_k(t)|^2 \approx \lambda^2 |c_k^{(1)}(t)|^2\]
を得る。つまり、1次の摂動は\(\ket{n}\to \ket{k}\)という遷移確率の最低次の近似を与えていたのだ。
これを踏まえて、2次の摂動の式を見直してみよう。2次の摂動は、
\begin{align}
c_k^{(2)}(t) &= -\frac{i}{\hbar}e^{-i\omega_k t}\sum_j \int_0^t c_j^{(1)}(\tau)e^{i\omega_k \tau}\bra{k}H_1(\tau)\ket{j} d\tau
\end{align}
と計算できた。一方で1次の摂動は、\(\ket{\psi(0)} = \ket{n}\)という仮定のもとで、
\[c_k^{(1)}(t) = -\frac{i}{\hbar}e^{-i\omega_k t}\int_0^t c_n^{(0)}(0) e^{-i(\omega_n-\omega_k) \tau}\bra{k}H_1(\tau)\ket{n} d\tau\]
だった。係数などは無視してやると、基本的に
\[\int_0^t c_n^{(0)}(0) e^{-i(\omega_n-\omega_j) \tau}\bra{j}H_1(\tau)\ket{n} d\tau\]
という項が1次摂動による\(n\to k\)への遷移確率を表していると考えられる。一方で2次の摂動には、
\[\int_0^t c_j^{(1)}(\tau)e^{i\omega_k \tau}\bra{k}H_1(\tau)\ket{j} d\tau\]
という項がある。1次の式ととても良く似ているので、1次摂動の式からのアナロジーによって2次摂動の物理的解釈をする。すると1次摂動によって\(\ket{n}\to \ket{j}\)と遷移した状態を、さらに\(\ket{j}\to\ket{k}\)へと遷移させる確率を表していると考えられるだろう。3次、4次についても全く同じように議論できる。
まとめると以下のような描像が成り立つ。
- 1次摂動：初期状態\(\ket{n}\)を\(\ket{k}\)に遷移させる
- 2次摂動：初期状態\(\ket{n}\)を\(\ket{k}\)に中間状態\(\ket{j}\)を介して遷移させる。中間状態への遷移は1次摂動による。
- 3次摂動：初期状態\(\ket{n}\)を\(\ket{k}\)に中間状態\(\ket{j}\)を介して遷移させる。中間状態への遷移は2次摂動による。
- 4次摂動：...
これで摂動論の式が物理的イメージを持って理解できるだろう。
6. 少しだけ具体的な例
初期状態\(\ket{\psi(0)}\)が\(H_0\)のある固有状態\(\ket{n}\)にあり、摂動ハミルトニアンが、時間によって変化する実数の関数\(f(t)\)と時間に依存しない演算子部分\(A\)に分けられて、\(H_1(t)=f(t)A\)のようになっている状況を考えてみよう。このとき初期状態については、\(c_n^{(0)}\)だけが\(1\)で、それ以外は\(0\)である。したがってこの場合には、1次摂動の(3)式は
\[c_k^{(1)}(t) = -\frac{i}{\hbar}e^{-i\omega_k t} \bra{k}A\ket{n} \int_0^t e^{-i(\omega_n-\omega_k) \tau}f(\tau) d\tau\]
と書き直される。したがって、1次摂動の範囲で遷移確率は
\begin{align}
|c_k(t)|^2 &\approx \lambda^2 |c_k^{(1)}(t)|^2\\
&= \frac{\lambda^2|\bra{k}A\ket{n}|^2}{\hbar^2}\left|\int_0^t e^{-i(\omega_n-\omega_k) \tau}f(\tau) d\tau\right|^2\tag{5}
\end{align}
を得る。\(t\)が十分大きい時には、次のような近似をすることがある。
\[\int_0^t e^{-i(\omega_n-\omega_k) \tau}f(\tau) d\tau \approx \int_0^\infty e^{-i(\omega_n-\omega_k) \tau}f(\tau) d\tau\]
このとき現れる
\[J(\omega) = \left|\int_0^\infty e^{-i\omega\tau}f(\tau) d\tau\right|^2\]
は「スペクトル密度」と呼ばれる。この言葉は、量子の緩和現象を考える文脈で現れ、重要な量である。
また、(5)式からわかるように、1次摂動の範囲では、
\[\bra{k}A\ket{n} = 0\]
であるときには、\(|c_k(t)|^2 \approx 0\)が成り立ち、\(\ket{n}\to\ket{k}\)の遷移が起こらない。これが成り立つような遷移のことを、
禁制遷移
と呼ぶ。しかしながら実は、1次摂動で禁止されているように見える遷移であっても、2次の摂動まで考慮に入れると起こることがある。今回扱った摂動論の物理的描像を踏まえれば、なぜそのようなことが起こるかわかるだろう。\(\ket{k}\)から直接\(\ket{n}\)に行けない場合であっても、2次摂動では\(\ket{j}\)という中間状態を経た遷移が起こり、\(\ket{k}\to\ket{j}\to\ket{n}\)というルートが残されているのである。このような遷移が意外に重要な役割を果たしている場合もあるので、何次摂動の項まで取るかは十分注意して決める必要がある。