1. フェルミオンの線型変換
前回、フェルミオンの線型変換の中でも最も一般的な Bogoliubov 変換について解説した。Bogoliubov 変換は
\begin{align}
b_i^\dagger = \sum_j \left(a_{ij}c_j^\dagger + b_{ij}c_j\right) \tag{1}
\end{align}
として、あるフェルミオン生成消滅演算子の組 \(c_i^\dagger, c_i\) から、新しい生成消滅演算子の組 \(b_i^\dagger, b_i\) を定義する手法だった。
しかし、Bogoliubov 変換では、\(c_j^\dagger\) と \(c_j\) を混ぜていることから、もともと考えていた系の粒子数と、Bogoliubov 変換後の粒子数が必ずしも等しくならなくなる。したがって、粒子数が保存しているような系を考えるのであれば、Bogoliubov 変換ほど一般的な変換を使うと、系の描像がよくわからなくなってしまうという問題が起きる。
そこでそのような系のときには
\begin{align}
b_i^\dagger = \sum_j u_{ij}c_j^\dagger \tag{2}
\end{align}
のような変換にしておいたほうが良いだろう。そこでこのページではこのような変換について考える。
2. 生成消滅演算子の線型変換
(2) 式のように \(u_{ij}\) という行列によって線型変換を行うわけだが、\(u_{ij}\) はどんな行列でも良いわけではない。なぜなら、\(\{b_i^\dagger\}\), \(\{b_i\}\) は生成消滅演算子としての性質
\begin{align}
[b_{i},b^\dagger_{j}]_+ &= \delta_{ij} \\
[b_{i},b_{j}]_+ &= 0 \tag{3}\\
[b^\dagger_{i},b^\dagger_{j}]_+ &= 0
\end{align}
を満たしているべきだからだ。
(3) 式の左辺に (2) 式を代入すると、
\begin{align}
[b_{i},b^\dagger_{j}]_+ &= \sum_{k,l} u_{ik}^* u_{jl}[c_{k},c^\dagger_{l}]_+ \\
&= \sum_{k,l} u_{ik}^* u_{jl} \delta_{kl} \\
&= \sum_{k} u_{ik}^* u_{jk} \\
[b^\dagger_{i},b^\dagger_{j}]_+ &= \sum_{k,l} u_{ik} u_{jl} [c^\dagger_{k},c^\dagger_{l}]_+\\
&= 0
\end{align}
となるので、
\begin{align}
\sum_{k} u_{ik}^* u_{jk} = \delta_{ij} \tag{4}
\end{align}
さえ満たされていれば、(3)式を満たすような、すなわち生成消滅演算子としての性質を持つような \(b_i^\dagger, b_i\) を構成できることがわかる。
\(U\) を \(\{u_{ij}\}\) を成分として持つ行列とすると、(5) 式は \(U^\dagger U = I\) とも書けるだろう。これは \(U\) がユニタリー行列であることにほかならない。そこで次が言える。
\(c_i^\dagger\) をユニタリー行列によって組み合わせ直すと、別の生成演算子の組 \(b_i^\dagger\) が得られる。
3. 生成消滅演算子の線形変換をハイゼンベルク描像で書く
少し天下り的だが、実は (2) 式の線形変換は歪エルミートな行列 \(\kappa = \{\kappa_ij\}\) を使って、
\begin{align}
b_i^\dagger = \exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)c_i^\dagger\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)^\dagger \tag{5}
\end{align}
の形に書き直せる。このページではこのことを示す。
\(\kappa_{kj}\) が歪エルミートとは、
\begin{align}
\kappa_{kj} = -\kappa_{jk}^*
\end{align}
を満たすということである。実はこの条件を課すことで \(\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{jk} c_j^\dagger c_k \right)\) がユニタリーになっている。そのことは以下のようにして示せる。
\begin{align}
\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)^\dagger &= \sum_{j,k}\kappa_{kj}^* c_k^\dagger c_j \\
&= -\sum_{j,k}\kappa_{jk} c_k^\dagger c_j \\
&= - \sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k
\end{align}
なので、
\begin{align}
\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)^\dagger &= \exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)\exp\left(- \sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k\right) = I
\end{align}
であり、これは\(\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{jk} c_j^\dagger c_k \right)\) がユニタリーであることを示している。
さて、(5) 式を示そう。これを示すには、以下の生成消滅演算子に関する公式を使う。
\begin{align}
\left[\sum_{jk} \kappa_{kj} c_j^\dagger c_k, c_i^\dagger\right]_- &= \sum_{j} \kappa_{ij} c_j^\dagger \tag{6}
\end{align}
このことは以下のような計算によって示せる。
\begin{align}
\left[\sum_{jk} \kappa_{kj} c_j^\dagger c_k, c_i^\dagger\right]_- &= \sum_{jk} \kappa_{kj} \left[ c_j^\dagger c_k, c_i^\dagger\right]_- \\
&= \sum_{jk} \kappa_{kj} \left( c_j^\dagger c_k c_i^\dagger - c_i^\dagger c_j^\dagger c_k\right) \\
&= \sum_{jk} \kappa_{kj} \left( c_j^\dagger c_k c_i^\dagger + c_j^\dagger c_i^\dagger c_k\right) \\
&= \sum_{jk} \kappa_{kj} \left( c_j^\dagger c_k c_i^\dagger + c_j^\dagger (\delta_{ik} - c_k c_i^\dagger)\right) \\
&= \sum_{jk} \kappa_{kj} c_j^\dagger \delta_{ik} \\
&= \sum_{j} \kappa_{ij} c_j^\dagger
\end{align}
次に (6) 式を用いて
\begin{align}
\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)c_i^\dagger\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)^\dagger
\end{align}
を計算してみよう。計算には、
アダマール公式
\[e^A B e^{-A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \underbrace{[A,[A,\cdots,[A}_n,B]\cdots]\]
を使う。
\begin{align}
\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)c_i^\dagger\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)^\dagger
&= \exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)c_i^\dagger\exp\left(-\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right) \\
&= \sum_{n} \frac{1}{n!} \underbrace{[\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k,[\sum_{j',k'}\kappa_{k'j'} c_{j'}^\dagger c_{k'},\cdots,[\sum_{j'',k''}\kappa_{k''j''} c_{j''}^\dagger c_{k''}}_n,c_i^\dagger]\cdots]
\end{align}
行列 \(\kappa = \{\kappa_{kj}\}\) と生成消滅演算子を成分として持つベクトル \(\b{c}^\dagger\)
\begin{align}
\b{c}^\dagger &= \left(\begin{array}{c} c^\dagger_1 \\ c_2^\dagger \\ \vdots\end{array}\right)
\end{align}
を使えば、(6) 式の右辺は \((\kappa \b{c}^\dagger)_i\) (添字の i は i番目の成分を表す) と書けるだろう。したがって、
\begin{align}
\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)c_i^\dagger\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)^\dagger
&= \sum_{n} \frac{1}{n!} \left(\b{\kappa}^n \b{c}^\dagger\right)_i
\end{align}
を得る。さらに行列の指数関数の定義
\begin{align}
\exp\left(\b{\kappa}\right) = \sum_{n} \frac{1}{n!} \b{\kappa}^n
\end{align}
を使えば、
\begin{align}
\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)c_i^\dagger\exp\left(\sum_{j,k}\kappa_{kj} c_j^\dagger c_k \right)^\dagger
&= \sum_{ij}\left(\exp(\kappa)\right)_{ij}c_j^\dagger
\end{align}
量子化学の文脈では、行列 \(\kappa\) は軌道回転のパラメータと呼ばれているっぽい。