1. Bogoliubov 変換とは
\(N\)モードのフェルミオンの生成消滅演算子を \(c_i^\dagger, c_i\), (\(i=1,\cdots,N\)) とする。つまり、この演算子は
\begin{align}
[c_i,c^\dagger_j]_+ &= \delta_{ij} \\
[c_i,c_j]_+ &= 0 \tag{1}\\
[c^\dagger_i,c^\dagger_j]_+ &= 0
\end{align}
という交換関係を満たす。\([A,B]_+\)は反交換子であり、\([A,B]_+ = AB + BA\)である。
フェルミオンの
Bogoliubov 変換
とは、以下のように、\(c_i^\dagger, c_i\) の線形結合によって新しい演算子
\begin{align}
\tilde{c}_i^\dagger = \sum_{j=1}^{N} \left(a_{ij}c_j^\dagger + b_{ij}c_j\right) \tag{2}
\end{align}
を作ったとき、この \(\tilde{c}_i^\dagger\) とそのエルミート共役 \(\tilde{c}_i\) もフェルミオンの生成消滅演算子としての性質 (1) を満たすような変換のことを言う。この変換は例えば超伝導の BCS 理論なんかで現れるものだ。
このページではフェルミオンの Bogoliubov 変換が満たすべき性質を導出してみようと思う。また、ひょんなことから Bogoliubov 変換を生成するハミルトニアンも考える機会があったので、それも最後に示しておく。
2. 行列形式で書く
(2) 式は形式的に、次のような行列の計算で書き下すことができる。
\begin{align}
\left(\begin{array}{c} \tilde{\b{c}}^\dagger \\ \tilde{\b{c}}\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cc} A & B \\ B^* & A^*\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} \b{c}^\dagger \\ \b{c}\end{array}\right)
\end{align}
\(A, B\) は \(a_{ij}, b_{ij}\) をその成分に持つ \(N\times N\) の行列であり、\(\b{c}^\dagger, \b{c}\) はそれぞれ
\begin{align}
\b{c}^\dagger &= \left(\begin{array}{c} c^\dagger_1 \\ \vdots \\ c^\dagger_N\end{array}\right) \\
\b{c} &= \left(\begin{array}{c} c_1 \\ \vdots \\ c_N\end{array}\right)
\end{align}
のように演算子を成分に持つベクトルである。 したがってこれからやることは、Bogoliubov 変換に対応する行列\(\left(\begin{array}{cc} A & B \\ B^* & A^*\end{array}\right)\) にどのような性質があるか調べることである。
3. 生成消滅演算子を分解する
フェルミオンの Bogoliubov 変換の性質を考える上で、僕が見かけた一番簡単なやり方は、フェルミオンの生成消滅演算子を次のように変換し、エルミート演算子 \(\gamma^A, \gamma^B\) を定義する方法だ。ここでもそのやり方で説明しようと思う。
\[\begin{align}
\gamma^A_i &= c_i^\dagger + c_i \\
\gamma^B_i &= -i \left(c_i^\dagger-c_i\right)
\end{align}\tag{3}\]
直感的には、\(\gamma^A_i, \gamma^B_i\) はそれぞれ \(c_i^\dagger\) の実数部と虚数部を表していると思える。なぜなら、
\begin{align}
c_i^\dagger = \frac{\gamma^A_i + i \gamma^B_i}{2}
\end{align}
だからだ。これらの関係式も次のような行列計算で表すことができる。
\begin{align}
\left(\begin{array}{c} \b{\gamma}^A \\ \b{\gamma}^B\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{cc} I & I \\ -iI & iI\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} \b{c}^\dagger \\ \b{c}\end{array}\right)
\end{align}
\(I\) は \(N\times N\) の単位行列である。逆変換も同様に
\begin{align}
\left(\begin{array}{c} \b{c}^\dagger \\ \b{c}\end{array}\right)=
\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} I & iI \\ I & -iI\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} \b{\gamma}^A \\ \b{\gamma}^B\end{array}\right)
\end{align}
と表せる。
さて、(1) 式の性質を使って計算すると、この演算子 \(\gamma^A_i, \gamma^B_i\) の交換関係が以下のようになっていることがわかる。簡単な計算なので詳細は省略する。
\begin{align}
[\gamma^A_i, \gamma^A_j]_+ &= 2\delta_{ij} \\
[\gamma^B_i, \gamma^B_j]_+ &= 2\delta_{ij} \tag{4}\\
[\gamma^A_i, \gamma^B_j]_+ &= 0 \\
\end{align}
逆に、この交換関係を満たす \(\gamma^A_i, \gamma^B_i\) があれば、(2) 式からフェルミオンの生成消滅演算子 \(c^\dagger_i, c_i\) を再構成できることも簡単にわかると思う。
ということは、このエルミート演算子 \(\gamma_i^A, \gamma_i^B\) の性質 (4) を満たすような線型変換があれば、それは Bogoliubov 変換と対応しているはずである。そこで、
\begin{align}
\b{\gamma} = \left(\begin{array}{c} \b{\gamma}^A \\ \b{\gamma}^B\end{array}\right)
\end{align}
として、
\begin{align}
\tilde{\b{\gamma}} = M \b{\gamma} \tag{5}
\end{align}
という変換をしたとき、\(\tilde{\b{\gamma}}\) が (4) 式を満たすための条件を求めてみよう。
4. Bogoliubov 変換の性質
ここからは \(\b{\gamma}\) の \(i\) 番目の成分を \(\gamma_i\) を書くことにする。そうすると (4) 式の条件は
\begin{align}
[\gamma_i, \gamma_j]_+ &= 2\delta_{ij} \tag{6}
\end{align}
と書き直されるだろう。この簡単な関係式こそ、\(\gamma_i\) に移って考える利点である。(6) 式に (5) 式によって変換された演算子 \(\tilde{\b{\gamma}}\) を入れて、行列 \(M\) が満たすべき性質を探ってみよう。\(M\) の成分を \(m_{ij}\) とすると
\begin{align}
[\tilde{\gamma}_i, \tilde{\gamma}_j]_+ &= 2\delta_{ij} \\
\iff [\sum_k m_{ik}\gamma_k, \sum_l m_{jl}\gamma_l]_+ &= 2\delta_{ij} \\
\iff \sum_k\sum_l m_{ik}m_{jl} [\gamma_k, \gamma_l]_+ &= 2\delta_{ij} \\
\iff \sum_k\sum_l m_{ik}m_{jl} 2\delta_{kl} &= 2\delta_{ij} \\
\iff \sum_k m_{ik}m_{jk} &= \delta_{ij}
\end{align}
これを行列で書き直すと、\(M^T\) を \(M\) の転置行列として、
\begin{align}
\iff MM^T = I
\end{align}
となる。\(MM^T = I\) ということは \(M\) は直交行列である、したがって、次のことが言えた。
\([\tilde{\gamma}_i, \tilde{\gamma}_j]_+ = 2\delta_{ij} \iff \) \(M\) は直交行列。
つまり、Bogoliubov 変換とは、\(\b{\gamma}\) を直交行列 \(M\) で混ぜ合わせるような変換である。
5. フェルミオンの生成消滅演算子での一般式
これで \(\b{\gamma}\) に対するBogoliubov 変換の一般式がわかったので、一応これをフェルミオンの言葉になおしておこう。\(\b{\gamma}\) と \(\b{c}^\dagger, \b{c}\) を結びつける行列を
\begin{align}
\Omega = \left(\begin{array}{cc} I & I \\ -iI & iI\end{array}\right)
\end{align}
とする。つまり、
\begin{align}
\b{\gamma} = \Omega \left(\begin{array}{c} \b{c}^\dagger \\ \b{c}\end{array}\right) \tag{7}
\end{align}
である。Bogoliubov 変換は、直交行列 \(M\) によって、
\begin{align}
\tilde{\b{\gamma}} = M \b{\gamma}
\end{align}
とかけていたのだから、(7) を代入すると、
\begin{align}
\Omega\left(\begin{array}{c} \tilde{\b{c}}^\dagger \\ \tilde{\b{c}}\end{array}\right) = M\Omega \left(\begin{array}{c} \b{c}^\dagger \\ \b{c}\end{array}\right)
\end{align}
となる。よって次が成り立つ。
\(N\) モードのフェルミオンの Bogoliubov 変換の最も一般的な形は、\(2N\times 2N\) の直交行列 \(M\) を用いて
\begin{align}
\left(\begin{array}{c} \tilde{\b{c}}^\dagger \\ \tilde{\b{c}}\end{array}\right) = \Omega^{-1}M\Omega \left(\begin{array}{c} \b{c}^\dagger \\ \b{c}\end{array}\right)
\end{align}
とかける。ここで \(\Omega = \left(\begin{array}{cc} I & I \\ -iI & iI\end{array}\right)\) である。
6. フェルミオンの Bogoliubov 変換の生成子
最初に予告したように、最後に Bogoliubov 変換を生成するハミルトニアンを書いて終わりにしよう。つまりここでは
\begin{align}
\tilde{\gamma}_i = \sum_{j} m_{ij}\gamma_j = e^{iH} \gamma_i e^{-iH} \tag{8}
\end{align}
を満たすようなエルミート演算子 \(H\) を探す。
若干天下り的だが、\(\gamma_i\) の次の性質を使おう。(天下りになってしまうのは僕の力不足。いつかなぜこうなるのか理解したい。)
\begin{align}
\left[\sum_{i,j} w_{ij}\gamma_i\gamma_j, \gamma_k\right]_- = 2\sum_i (w_{ik} - w_{ki}) \gamma_i \tag{9}
\end{align}
ここで \([\cdot,\cdot]_-\) は交換子であり、\([A,B]_- = AB-BA\) である。このことは次の計算によって確かめられる。
\begin{align}
\left[\sum_{i,j} w_{ij}\gamma_i\gamma_j, \gamma_k\right]_-
&= \sum_{i,j} w_{ij}\left[\gamma_i\gamma_j, \gamma_k\right]_- \\
&= \sum_{i,j} w_{ij}\left(\gamma_i\left[\gamma_j, \gamma_k\right]_+ - \left[\gamma_i, \gamma_k\right]_+ \gamma_j\right)\\
&= \sum_{i,j} w_{ij}\left(2\gamma_i\delta_{jk} - 2\delta_{ik} \gamma_j\right) \\
&= 2\sum_i (w_{ik} - w_{ki}) \gamma_i
\end{align}
さて、適当な演算子 \(A,B\) に関する
アダマール公式
\begin{align}
e^A B e^{-A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \underbrace{[A,[A,\cdots,[A}_n,B]\cdots]
\end{align}
を念頭において、(8) 式の \(H\) を求めていこう。まずは \(w_{ij}\) を成分として持つ行列を \(W\) とかいて、(9) 式を見やすい形にする。\(\sum_{i,j} w_{ij}\gamma_i\gamma_j = \b{\gamma}^T W \b{\gamma}\) とかけるから、
\begin{align}
\left[\b{\gamma}^T W \b{\gamma}, \b{\gamma}\right]_- = 2 \left(W^T-W\right)\b{\gamma} \tag{9}
\end{align}
\(\left[\b{\gamma}^T W \b{\gamma}, \cdot \right]_-\) を両辺に \(n\) 回かけると、
\begin{align}
\underbrace{[\b{\gamma}^T W \b{\gamma},[\b{\gamma}^T W \b{\gamma},\cdots,[\b{\gamma}^T W \b{\gamma}}_n, \b{\gamma}]_- = 2^n \left(W^T-W\right)^n\b{\gamma}
\end{align}
アダマール公式から、
\begin{align}
\sum_n \frac{1}{n!}\underbrace{[\b{\gamma}^T W \b{\gamma},[\b{\gamma}^T W \b{\gamma},\cdots,[\b{\gamma}^T W \b{\gamma}}_n, \b{\gamma}]_- = e^{\b{\gamma}^T W \b{\gamma}} \b{\gamma} e^{-\b{\gamma}^T W \b{\gamma}}
\end{align}
なので
\begin{align}
e^{\b{\gamma}^T W \b{\gamma}} \b{\gamma} e^{-\b{\gamma}^T W \b{\gamma}} = e^{2\left(W^T-W\right)}\b{\gamma} \tag{10}
\end{align}
が得られる。この式を(8)式 (をベクトル表記したもの) と並べてみると
\begin{align}
M\b{\gamma} &= e^{iH} \gamma_i e^{-iH} \tag{8} \\
e^{2\left(W^T-W\right)}\b{\gamma} &= e^{\b{\gamma}^T W \b{\gamma}} \b{\gamma} e^{-\b{\gamma}^T W \b{\gamma}} \tag{10}
\end{align}
のようになってかなり似ている。さらに似せるために、\(M\) を行列の指数関数で表記してやろう。\(M\) は直交行列だったから、必ず反対称行列 \(R=-R^T\) によって \(M = e^R\) とかける。ということで
\begin{align}
R = 2\left(W^T-W\right)
\end{align}
とすれば良さそうだ。そうすると、逆に
\begin{align}
W = -\frac{1}{4} (R - R^T) = -\frac{1}{2} R
\end{align}
である。この \(W\) を (10) に代入すれば
\begin{align}
M\b{\gamma} &= \exp\left(-\frac{1}{2} \b{\gamma}^T R \b{\gamma}\right) \b{\gamma} \exp\left(\frac{1}{2} \b{\gamma}^T R \b{\gamma}\right)
\end{align}
となって、これが求めていた形である。したがって、次のことが言える。
フェルミオンの Bogoliubov 変換 \(\tilde{\b{\gamma}} = M\b{\gamma}\) は \(M=e^R\) となる反対称行列 \(R\) によって、
\begin{align}
\tilde{\gamma}_j &= \exp\left(-\frac{1}{2} \b{\gamma}^T R \b{\gamma}\right) \gamma_j \exp\left(\frac{1}{2} \b{\gamma}^T R \b{\gamma}\right)
\end{align}
と記述することもできる。
もっと言えば、
任意の反対称行列 \(R\) を使って定義したハミルトニアン \(H = i\b{\gamma}^T R \b{\gamma}\) は Bogoliubov 変換を時間発展として生成する。
が言えるだろう。
\(H\) はフェルミオンの生成消滅演算子で書くと \(H = \sum_{i,j} (h_{ij}c^\dagger_ic_j + \Delta_{ij}c^\dagger_ic^\dagger_j + \Delta_{ij}^*c_ic_j)\) の形になる。squeezing 変換みたいなのも含むわけだ。