このページの最初のほうに書いてある解釈は、量子力学の発展途中に現れた解釈で、現在確立されている一般的な量子力学とは異なるので注意。でも、物質波(波動関数)の性質を理解するためにはこういう解釈の仕方を知っておくのも重要だと思うんだ。
1.物質波の複素数性
前回
シュレディンガー方程式
を導出し、それは一次元なら
\[\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - V(x)\psi(x,t)=-i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}\tag{1}\]
で、多次元に拡張するなら
\[\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi - V(x)\psi(x,t)=-i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}\tag{1}\]
という形をしていた。\(\psi(x,t)\)というのがド・ブロイの提唱した
物質波
である。
しかし、シュレディンガー方程式(1)の形を見ると、時間微分の項に虚数\(i\)がひっついている。これが古典論的な波動方程式との一番の違いで、シュレディンガー方程式の物質波\(\psi\)というのは
本質的に複素数を含むのだ。
本質的に、というのはどういうことか少し説明しておこう。普通の波動方程式
\[\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\tag{2}\]
の場合、\(\phi\)というのはそのまま物理的な実態、例えば音なら空気の密度、電磁波なら電場の振幅、を表すような関数\(\phi(x,t)\)でこれは必ず実数的でないといけない。もちろん、計算の便宜上、(2)を複素数の波\(e^{i(kx - \omega t)}\)を使いながら計算することはよくあることだが、最終的に出て来る答えは、必ず実数にする。例えば最終的に\(\phi\)の実数部を取ったりするだろう。そして、その\(\phi\)実数部というのは(2)の波動方程式を満たしているわけだ。つまり、(2)の解は(変な複素数による境界条件をつけたりしない限り)必ず実数の範囲に存在する。
一方で、シュレディンガー方程式の\(\psi\)というのは、そういう性質のものではないのだ。複素数になるのが嫌だからといって、最後に\(\psi\)の実数部\(Re(\psi)\)をとったりしてしまうと、\(Re(\psi)\)というのはもうシュレディンガー方程式を満たさない。これが物質波が本質的に複素数を含むということの意味である。つまり、シュレディンガー方程式から出てくる物質波と言うのは、そのままでは僕達の観測できる実数的な性質(例えば質量・運動量・エネルギー)を持っていないのだ。
2.物質密度
そこで、複素数の物質波を現実の世界と結びつけるためには、どうにかして\(\psi\)から観測できる物理的な値を取り出してやらないといけない。もちろん、水素原子のエネルギー準位なんかはそういう観測できる量である。でも電子は他にも、運動量や質量といったものを性質としてもっているはずである。こういう量をどうやって取り出そうか。
複素数の\(\psi\)から実数を作り出す方法は無限にある。例えば、\(\psi+\psi^*,\psi\psi^*\)なんかは簡単な例だし、他にも、任意の実数→実数の関数\(f\)を使えば\(f(\psi+\psi^*)\)は\(\psi\)から取り出した実数的な情報と言えるだろう。では、どれにどういう解釈を付加するのがいいかが問題となる。
古典論での波を思い返してみると、波の強さというのは、\((振幅)^2\)で表されていた。ということはここから類推すると、「物質波の強さ」というのは\(|\psi|^2=\psi\psi^*\)だろうと考えられる。
そこでシュレディンガーは、この\(|\psi|^2=\psi\psi^*\)を
物質密度
と考えた。電子は粒子的な存在ではなく、(1)によってその運動が決定される波である、と考えたのだから、粒子のように一点に質量が集中していると考えるのはふさわしくなく、
\[\rho(x,t)=\psi(x,t)\psi^*(x,t)\tag{3}\]
というようにその質量が空間的に分布していると考えるのがスジだということだ。
もちろん、現在の量子力学の解釈の仕方とは全く違うやり方なのだが、シュレディンガー風に考えると最初はわかりやすい。(3)のように密度が与えられているというのあれば、電子の質量\(m\)はその積分によって表されるはずで、
\[\int_V|\psi|^2 dV=m\tag{4}\]
となるべきだろう。
3.運動量密度
次に物質波がある範囲に局在している状況を考えて、その動き方を見ることによって、運動量を定義してみよう。
こういうとき、物質波の代表的な動きは、その重心
\[\b{r}_0 = \frac{1}{m}\int_V\b{r}\psi\psi^* dV\tag{5}\]
によって考えるのがいいだろう。その時間変化を考えるために、(5)を時間微分してみると、
\begin{align}
\frac{d\b{r}_0}{dt} &= \frac{1}{m}\frac{d}{dt}\int_V\b{r}\psi\psi^* dV\\
&=\frac{1}{m}\int_V\b{r}\frac{\partial}{\partial t}(\psi\psi^*) dV\\
&=\frac{1}{m}\int_V\b{r}\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\psi^*+\psi\frac{\partial \psi^*}{\partial t}\right) dV
\end{align}
ここでシュレディンガー方程式から
\begin{align}
\frac{\partial \psi}{\partial t} &= \frac{1}{i\hbar}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+ V\psi\right)\\
\frac{\partial \psi^*}{\partial t} &= -\frac{1}{i\hbar}\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi^* + V\psi^*\right)
\end{align}
なので、代入して少し計算すると
\begin{align}
\frac{d\b{r}_0}{dt}&=\frac{i\hbar}{2m^2}\int_V\b{r}\left(\psi^*\Delta\psi - \psi\Delta\psi^*\right) dV\\
&=\frac{i\hbar}{2m^2}\int_V\b{r}\Div\left(\psi^*\grad\psi - \psi\grad\psi^*\right) dV
\end{align}
さらに部分積分をする。
\begin{align}
&=\frac{i\hbar}{2m^2}\left[\b{r}\left(\psi^*\grad\psi - \psi\grad\psi^*\right)\right]_{\partial V} - \frac{i\hbar}{2m^2}\int_V\left(\psi^*\grad\psi - \psi\grad\psi^*\right) dV \\
\end{align}
\(V\)の表面\(\partial V\)において、\(V\)を十分大きくとれば\(\psi=0\)とできる。つまり
\begin{align}
&=\frac{i\hbar}{2m^2}\int_V\left(\psi\grad\psi^* - \psi^*\grad\psi\right) dV \\
\end{align}
ということであり、よって、
\[m\frac{d\b{r}_0}{dt} = \frac{i\hbar}{2m}\int_V\left(\psi\grad\psi^* - \psi^*\grad\psi\right) dV\tag{6}\]
である。(6)は重心の運動量を表していると解釈できるから、シュレディンガー風の解釈においては
\[\b{p}=\frac{i\hbar}{2m}\left(\psi\grad\psi^* - \psi^*\grad\psi\right)\tag{7}\]
が
運動量密度
であるということになる。(7)をよく見ればわかるように、かっこの中は\(a-a^*\)の形をしているから純虚数であり、それに\(i\)をかけているから、うまいこと実数の数字が出ている。
4.エネルギー密度
運動量密度がわかったから、物質波のエネルギー密度も求めてみたい。と思って、全エネルギー\(U\)を全運動量\(P=\int pdV\)で
\[U=\frac{P^2}{2m}+\int V\psi\psi^*dV\]
のように書いてみたのだが、これだと教科書に書いてある答えがでなかった。なぜかがちょっとわからないのでとりあえずこれは保留しておく。
5.現在の量子力学の解釈
シュレディンガー方程式に従う波動関数\(\psi\)の振幅\(|\psi(x)|^2\)は、現在\(|\psi(x)|^2dx\)がxからx+dxの間に粒子が見いだされる確率である、として理解されている。このへんのくわしい事情はいろいろと難しいのでもっと量子力学の体系を確立してから話すほうがいい気がする。
したがって、現在の解釈では(7)というのは運動量密度なんかではなく、波動関数の一種の流れのようなものなのだ。しかし、(7)が波動関数の流れを示す、ということを説明するにあたっては、シュレディンガー風の解釈で電子が空間的に分布していると考えたほうが分かりやすかったので、こういうふうにしてみた。