1.マクスウェル以前に見つかっていた方程式たち
マクスウェルが4本の方程式としてまとめる以前に、すでに電気・磁気現象は下のような式によって記述できることがわかっていた。それをまとめて示すと、下のようになる。
\begin{align}
\int_S\b{D}\cdot d\b{s} &= Q \tag{1}\\
\int_S\b{B}\cdot d\b{s} &= 0 \tag{2}\\
v &= -\frac{d\phi}{dt} \tag{3}\\
\oint_C\b{H}\cdot d\b{l} &= I \tag{4}
\end{align}
(1)式は
ガウスの法則
で、閉曲面Sを貫く電束がQに等しいことを示している。これはクーロンの法則\(f=q_1q_2/4\pi\epsilon r^2\)を一般化したものだった。
(2)式は閉曲面Sを貫く磁束が0、つまり磁気単極子は存在しないことを意味する。磁石はいくら割ってもNS極を持つということだ。現代では電子や原子核自体が磁気を持っていることがわかっている。
(3)式は誘導起電力の式、いわゆる
ファラデーの法則
である。コイルを貫く磁束の時間変化に比例した誘導起電力が現れることを示す。
最後に(4)式は
アンペールの法則
で、電流Iの周りには磁界が円を描くように発生することを示す。こちらは
ビオ・サバールの法則
と(時間変化がなければ)同等である。
2.マクスウェル方程式
上に挙げた４つの式は、マクスウェルによって(微分形式で)まとめられた。ベクトル解析におけるガウスの定理やストークスの定理(
ベクトル解析公式集参照)を駆使した結果が下である。
\begin{align}
\Div (\epsilon_0\b{E}) &= \rho \tag{1'}\\
\Div \b{B} &= 0 \tag{2'}\\
\rot \b{E} &= -\frac{\partial \b{B}}{\partial t} \tag{3'}\\
\rot \b{B} &= \mu_0\left( \b{J} + \frac{\partial (\epsilon_0\b{E})}{\partial t}\right) \tag{4'}
\end{align}
(1')～(4')がそれぞれ(1)～(4)式に対応している。ただし、\(\b{D}=\epsilon_0\b{E},\b{B}=\mu_0\b{H}\)を使っている。
導出はどこにでも載っているだろう。ちょっとGoogle検索すればいい。とりあえずマクスウェル方程式は知っている前提で話を進めていこう。
メモ：
(4)式と(4')式では\(\partial \epsilon_0\b{E}/{\partial t}\)だけ異なっている。この項は何なのか。
一応この項は
変位電流
と呼ばれていて、電流と等価である。Maxwellのすごいのはこの項をプラスしたところだ。(もちろん他の式を作ったのもすごいのだが。)この項があるおかげで、電場・磁場の波動方程式が存在するし、電荷の保存則が成り立っていることが示せる。実際には、電荷の保存則が満たされるために、この項をつけたのだろう。