1.一様球電荷のエネルギー
今回は
前回導出した電場のエネルギーを使って、半径aの球面に面密度\(\sigma\)で一様に帯電させた系のエネルギーを求めてみよう。
このときの電場は、導出は省略するが、中心からの距離をrとして、
\[
\b{E}(r)=\left\{\begin{align}
&\frac{\sigma a^2}{\epsilon_0 r^2} ~~(r>a)\\
&0~~(a>r)\end{align}\right.\tag{1}
\]
となっている。
よってエネルギー密度は、r>aの範囲で、
\[u(r)=\frac{\sigma^2 a^4}{2\epsilon_0 r^4}\tag{2}\]
となる。この系全体のエネルギーUは、球面極座標系で積分することによって、
\begin{align}
U&=\int u dV\\
&=\int u(r) r^2sin\theta drd\theta d\phi\\
&=\frac{2\pi\sigma^2 a^4}{\epsilon_0}\int_a^\infty\frac{1}{r^2}dr\\
&= \frac{2\pi\sigma^2 a}{3\epsilon_0} \tag{3}
\end{align}
を得る。これでおわり！でもいいけれど、ちょっと気になったことがあったのでやってみた。(3)式を全電荷量\(Q=4\pi a^2\sigma\)を用いて書き直す。すると、
\[U=\frac{Q^2}{24\pi\epsilon_0 a}\tag{4}\]
となる。これは完全にaに反比例する形になっている。a→0の極限、つまり点電荷に近づけていくと、エネルギーは無限大に発散する。もし完全な点電荷が存在するとすると、それのもつエネルギーは無限大になっているということだ。したがって、普通に考えれば、点電荷なんていうものはこの世界に存在するはずがない。
例えばもし電子が粒子なら、無限小の点では無くて、有限の大きさを持ったものであると考えるのが自然だろう。
2.コンデンサのエネルギー
次はコンデンサのエネルギーについて。コンデンサの容量・キャパシタンスCの定義は、コンデンサ間の電位差Vと保持している電荷Qを使って、
\[Q=CV\tag{5}\]
である。電荷Qをためたコンデンサに蓄えられるエネルギーUを求めてみる。
電荷0の状態から、電荷Qまで、dqずつ電荷を移動させるという考え方で求めることができる。dqの電荷を移動させるのに必要なエネルギーdUは、その時の電位差Vを使って、
\[dU=Vdq\]
とかける。あとはこれを積分すればいいだけだ。
\begin{align}
U&=\int dU\\
&=\int_0^Q Vdq \\
&=\int_0^Q \frac{q}{C}dq \\
&=\frac{Q^2}{2C} \tag{5}
\end{align}
となる。実はこれはコンデンサがつくる電場のエネルギーと等しくなる。平行平板コンデンサでやってみればすぐにわかるからやってみるといいかもしれない。
はしょりながらやってみる。幅d, 面積Sの平行平板コンデンサ(ただし板はdに比べて十分に大きい時)を考え、その内部の電場は一様であるとすると、
\[E=\frac{V}{d}\tag{6}\]
が得られる。この仮定のもとでキャパシタンスCは
\[C=\epsilon_0\frac{S}{d}\tag{7}\]
で与えられる。コンデンサ間の電界がもつエネルギーUは、エネルギーの体積密度が\(w=\epsilon_0 E^2/2\)で与えられるから、
\[W=wdS=\frac{\epsilon_0 SV^2}{2d} \tag{8}\]
となる。さらに\(Q=CV\)という関係と(6)を使えば、
\[U=\frac{Q^2}{2C}\tag{9}\]
というふうに確かに(5)と等しくなっていることが確認できる。
したがって、コンデンサーはエネルギーを電場という形で蓄えるような素子であるといえるだろう。