1.正準方程式における変数変換
正準方程式
\[
\left\{\begin{align}
\dot{\b{q}}&=\frac{\partial H}{\partial \b{p}} \\
\dot{\b{p}}&=-\frac{\partial H}{\partial \b{q}}
\end{align}\right. \tag{1}
\]
を立てた後に、座標変換をして変数の組を\((\b{p},\b{q},t)\to(\b{p}',\b{q}',t)\)としたい時もあるだろう。そのときは、ハミルトニアンも\(H(\b{p},\b{q},t)\to H'(\b{p}',\b{q}',t)\)のように変換されるが、その変換を行った後でも、
\[
\left\{\begin{align}
\dot{\b{q}'}&=\frac{\partial H'}{\partial \b{p}'} \\
\dot{\b{p}'}&=-\frac{\partial H'}{\partial \b{q}'}
\end{align}\right. \tag{2}
\]
という正準方程式が成り立っているとなんとなく嬉しいだろう。このような条件を満たす変数変換のことを
正準変換
という。
\((\b{p},\b{q},t)\to(\b{p}',\b{q}',t)\)という変換が、変換後でも(2)を満たす、つまり正準変換である条件を求めてみよう。
2.正準変換となるための条件
いろんなサイトや教科書が作用の変分の形が変わらないというところから出発して、正準変換となるための条件を導出している。でも、ここではそれを使わずに、少し違う視点から導出してみよう。目指すのは(2)式だ。
まずは、\(\b{r}=(\b{q},\b{p}), \b{r}'=(\b{q},\b{p})'\)とおいて、(1)と(2)式を行列形式に書き換える。つまり、
\[
\left\{\begin{align}
\dot{\b{r}}&=
\left(\begin{array}{cc}\b{0}&\b{1}\\\b{-1}&\b{0}\end{array}\right)
\frac{\partial H}{\partial \b{r}} \tag{1}\\
\dot{\b{r}'}&=
\left(\begin{array}{cc}\b{0}&\b{1}\\\b{-1}&\b{0}\end{array}\right)
\frac{\partial H}{\partial \b{r}'}\tag{2}
\end{align}\right.
\]
というふうに書き直す。さらに行列\(\b{A}\)を
\[\b{A}=\left(\begin{array}{cc}\b{0}&\b{1}\\\b{-1}&\b{0}\end{array}\right)\tag{3}\]
とすればもう少しスマートにかけて、
\[
\left\{\begin{align}
\dot{\b{r}}&=\b{A}\frac{\partial H}{\partial \b{r}} \tag{1}\\
\dot{\b{r}'}&=\b{A}\frac{\partial H}{\partial \b{r}'}\tag{2}
\end{align}\right.
\]
というふうになる。
ここで、変換後の座標は\(\b{r}'=\b{r}'(\b{r})\)のように元の座標の関数になっているから、その時間微分\(\dot{\b{r}'}\)は、成分ごとに書くと、
\[\dot{r_i'}=\sum_j \frac{\partial r_i'}{\partial r_j}\frac{dr_j}{dt}\tag{4}\]
となる。行列\(\b{R}\)を
\[R_{ij}=\frac{\partial r_i'}{\partial r_j}\tag{5}\]
とすれば、(4)式をベクトルのように表記できて、
\[\dot{\b{r}'}=\b{R}\dot{\b{r}}\tag{6}\]
とかける。ここに(1)を代入すれば、
\[\dot{\b{r}'}=\b{R}\b{A}\frac{\partial H}{\partial \b{r}}\tag{7}\]
さらに、\(\b{r}'=\b{r}'(\b{r})\)だったことを思い出して、(7)のハミルトニアンの偏微分を書き換えると、
\[\frac{\partial H}{\partial r_i}=\sum_j \frac{\partial r_j'}{\partial r_i}\frac{\partial H}{\partial r_j'}\]
つまり、\(\b{R}\)の転置行列を\(\b{R}^T\)とすれば、
\[\frac{\partial H}{\partial \b{r}}=\b{R}^T\frac{\partial H}{\partial \b{r}'}\tag{8}\]
これを(7)に代入すれば、
\[\dot{\b{r}'}=\b{R}\b{A}\b{R}^T\frac{\partial H}{\partial \b{r}'}\tag{9}\]
を得る。しかし正準変換なら(2)式、
\[\dot{\b{r}'}=\b{A}\frac{\partial H}{\partial \b{r}'}\tag{2}\]
が成り立っていないといけない。これはつまり、
\[\b{R}\b{A}\b{R}^T=\b{A}\tag{10}\]
なら正準変換になっているということだ!!
3.ポアソン括弧
正準変換の条件である(10)式は行列の形になっていて中身が見えにくいから、しっかりと成分表示してみよう。
\[R_{ij}=\frac{\partial r_i'}{\partial r_j}\tag{5}\]
で、\(\b{r}=(\b{q},\b{p}), \b{r}'=(\b{q},\b{p})'\)だったから、
\[
\b{R}=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{q}} & \frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{q}} \\
\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{p}} & \frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{p}}
\end{array}\right)\tag{11}
\]
ただし、\(\partial \b{q}'/\partial \b{q}\)というのは
\[\left(\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{q}}\right)_{ij}=\frac{\partial q'_i}{\partial q_j}\tag{12}\]
というような行列だ。つまり、(10)式は、
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{q}} & \frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{p}} \\
\frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{q}} & \frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{p}}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}\b{0}&\b{1}\\\b{-1}&\b{0}\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{q}}^T & \frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{q}}^T \\
\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{p}}^T & \frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{p}}^T
\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{cc}\b{0}&\b{1}\\\b{-1}&\b{0}\end{array}\right)
\tag{13}
\]
というように書き直せる。(13)式の行列計算をして成分ごとの等式にすると、
\[\begin{align}
\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{q}}\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{p}}^T-\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{p}}\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{q}}^T&=\b{0} \\
\frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{q}}\frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{p}}^T-\frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{q}}\frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{p}}^T&=\b{0} \\
\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{q}}\frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{p}}^T-\frac{\partial \b{p}'}{\partial \b{q}}\frac{\partial \b{q}'}{\partial \b{p}}^T&=\b{1}
\end{align}\tag{14}\]
となっていないといけないことがわかる。さらにこれらを成分表示すれば、
\[\begin{align}
\sum_k\left[\frac{\partial q'_i}{\partial q_k}\frac{\partial q'_j}{\partial p_k}-\frac{\partial q'_j}{\partial q_k}\frac{\partial q'_i}{\partial p_k}\right]&=0 \\
\sum_k\left[\frac{\partial p'_i}{\partial q_k}\frac{\partial p'_j}{\partial p_k}-\frac{\partial p'_j}{\partial q_k}\frac{\partial p'_i}{\partial p_k}\right]&=0 \\
\sum_k\left[\frac{\partial q'_i}{\partial q_k}\frac{\partial p'_j}{\partial p_k}-\frac{\partial p'_j}{\partial q_k}\frac{\partial q'_i}{\partial p_k}\right]&=\delta_{ij}
\end{align}\tag{15}\]
となる。これは(10)式と全く等価な式だから、正準変換となる条件そのものだ。。しかもとても対称的な形をしていて結構綺麗だ。
そこで、
ポアソン括弧
を次のように定義する。
\[[u,v]_{q,p}=\sum_k\left[\frac{\partial u}{\partial q_k}\frac{\partial v}{\partial p_k}-\frac{\partial v}{\partial q_k}\frac{\partial u}{\partial p_k}\right]\tag{16} \]
ただし、\(u,v\)は適当な\(\b{p},\b{q}\)の関数である。(16)を使えば、(15)は
\[\left\{\begin{align}
[q_i',q_j']_{q,p}&=0 \\
[p_i',p_j']_{q,p}&=0 \\
[q_i',p_j']_{q,p}&=\delta_{ij}
\end{align}\right.\tag{17}\]
と綺麗にまとめられる。(17)が正準変換となるための必要十分条件だ。