1.ルジャンドル変換とは
実は前回導出した
\[H=\sum_i p_i\dot{q_i}-L\tag{1}\]
は
ルジャンドル変換
という変換をしている。ルジャンドル変換というのは独立変数を取り替えるような変換のことなのだが、まあちょっとその辺をみてみよう。
ラグランジアンは\(L=L(\b{q},\b{\dot{q}},t)\)のように\(\b{q},\b{\dot{q}},t\)を独立変数として変化する関数だ。つまりその微小変化は、
\[dL=\frac{\partial L}{\partial \b{q}}\cdot d\b{q}+\frac{\partial L}{\partial \dot{\b{q}}}\cdot d\dot{\b{q}}+\frac{\partial L}{\partial t}\cdot dt\tag{2}\]
というふうに書けるはずだ。一方ハミルトニアンの微小変化は、
\begin{align}
dH&=d\left(\b{p}\cdot\dot{\b{q}}\right)-dL\\
&=\dot{\b{q}}\cdot d\b{p}+\b{p}\cdot d\dot{\b{q}}-\frac{\partial L}{\partial \b{q}}\cdot d\b{q}+\frac{\partial L}{\partial \dot{\b{q}}}\cdot d\dot{\b{q}}+\frac{\partial L}{\partial t}\cdot dt\\
&=\dot{\b{q}}\cdot d\b{p}+\b{p}\cdot d\dot{\b{q}}-\left(\dot{\b{p}}\cdot d\b{q}+\b{p}\cdot d\dot{\b{q}}-\frac{\partial L}{\partial t}\cdot dt\right)\\
&=\dot{\b{q}}\cdot d\b{p}-\dot{\b{p}}\cdot d\b{q}-\frac{\partial L}{\partial t}\cdot dt\tag{3}
\end{align}
となる。ただし、変形の途中(二行目から三行目)には、運動方程式と運動量の定義、
\[\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{dp_i}{dt},~\b{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\b{q}}}\]
を使った。
(3)式をみると、ラグランジアンが\(\b{q},\b{\dot{q}},t\)によって変化していたのに対して、ハミルトニアンは\(\b{q},\b{p},t\)によって変化している。つまり、独立変数が\(\b{\dot{q}}\to\b{p}\)と変わったのだ。こういう変換をルジャンドル変換といって、熱力学ではお馴染みの変換である。まあそこまで名前を覚えておく必要もないだろうと思う。こういう変換があるんだ、ということを知っておけば十分だ。
2.正準方程式
Hが\(\b{q},\b{p},t\)によって変化するなら、
\[dH=\frac{\partial H}{\partial \b{q}}\cdot d\b{q}+\frac{\partial H}{\partial \b{p}}\cdot dp+\frac{\partial H}{\partial t}\cdot dt\tag{4}\]
と書けるはずだ。これと
\[dH=\dot{\b{q}}\cdot d\b{p}-\dot{\b{p}}\cdot d\b{q}-\frac{\partial L}{\partial t}\cdot dt\tag{3}\]
を比較すれば、
\[
\left\{\begin{align}
\dot{\b{q}}&=\frac{\partial H}{\partial \b{p}} \\
\dot{\b{p}}&=-\frac{\partial H}{\partial \b{q}} \\
\frac{\partial H}{\partial t}&=-\frac{\partial L}{\partial t}
\end{align}\right.\tag{5}
\]
という連立方程式が得られる。前回も書いたように、普通はハミルトニアンやラグランジアンは時間tを陽に含まないから、最後の式はだいたい0だ。そこで
\[
\left\{\begin{align}
\dot{\b{q}}&=\frac{\partial H}{\partial \b{p}} \\
\dot{\b{p}}&=-\frac{\partial H}{\partial \b{q}}
\end{align}\right. \tag{6}
\]
という(6)を
正準方程式
または
ハミルトン形式の運動方程式
と呼ぶ。位置と運動量が対称的に扱われていて気持ちがいい。やっぱり位置と運動量は対等な関係にある量なんだろうなあと感じられる式だ。
(6)式を見ればわかるように、物体の運動はその系のハミルトニアン(≒全エネルギー)の形と初期条件によって完全に決まる。ということであるハミルトニアンに対して起こる運動のことを
そのハミルトニアンに従う運動といったりする。ハミルトニアンが運動を制御していることをしっかり表している言い方でなんかかっこいい。