1.ラグランジアンの時間変化
これまでにラグランジアンを導出して、一般化座標による運動方程式、さらにはそれによって一般的な運動量保存則が導かれることを示した。どうもラグランジアンというのは運動に関する情報のほぼ全てを含んでいるように思える。ということでやっぱりラグランジアンの時間変化を計算してみたいというのは自然な発想だろう。
さっそくやってみよう。
\begin{align}
\frac{dL}{dt}&=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum_i\left(\frac{\partial L}{\partial q_i}\frac{dq_i}{dt}+\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\frac{d\dot{q_i}}{dt}\right)\\
&=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum_i\left(\frac{dp_i}{dt}\dot{q_i}+p_i\frac{d\dot{q_i}}{dt}\right)~~(\because\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{dp_i}{dt},~p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}})\\
&=\frac{\partial L}{\partial t}+\sum_i\frac{d}{dt}(p_i\dot{q_i})\\
&=\frac{\partial L}{\partial t}+\frac{d}{dt}\left[\sum_i(p_i\dot{q_i})\right]\tag{1}\\
\end{align}
という風に変形できる。一応補足しておくと、
\[\frac{\partial L}{\partial q_i}=\frac{dp_i}{dt}\]
というのは、ラグランジュの運動方程式、
\[\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)=0 \tag{2}\]
から来ている。
で、(1)式のようになるわけだが、結局やってみてもなにがなんだかよくわからなかった。そもそもラグランジアン自体が物理的意味を直感的な意味であまり持っていないことが原因かもしれない。でも(1)式からは面白い結論も得られるからもう少しいじってみよう。
2.エネルギー保存則
まずここで
\[\frac{\partial L}{\partial t}=0\tag{3}\]
の仮定を置こう。なんでこんなことをするかといえば、ラグランジアンが時間に陽に依存することが自然では少ないからだ。運動エネルギーは速度だけで決まるし、ポテンシャルエネルギーだって人工的に電場を変動させたりしないかぎりは時間的に変化することはないだろう。(3)によって、(1)は、
\[\frac{dL}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\sum_ip_i\dot{q_i}\right)\\
\frac{d}{dt}\left(\sum_ip_i\dot{q_i}-L\right)=0\tag{4}\]
と書き直される。(4)は\(\sum p_i\dot{q_i}-L\)という量が時間的に変化しないということを表していて、また新しい保存量が見つかったわけだ。さて、題にもしているから分かってしまうかも知れないが、実は(4)がエネルギー保存則なのだ。このことを確かめよう。
\(\sum p_i\dot{q_i}\)を変形していく。ポテンシャルUが速度に関係していない場合を考えると、運動エネルギーをKとして、
\[p_i=\frac{\partial K}{\partial \dot{q_i}}\tag{5}\]
である。したがって、
\[\sum_ip_i\dot{q_i}=\sum_i\dot{q_i}\frac{\partial K}{\partial \dot{q_i}}\tag{6}\]
となる。つぎに考えるのは、\(K\)が\(\dot{q_i}\)の２次式である、ということだ。つまり、適当な係数\(a_{ij}=a_{ji}\)をつけて、(この係数の中には\(q_1,q_2,...\)が含まれていてもいい。)
\[K=\sum_i\sum_j a_{ij}\dot{q_i}\dot{q_j}\tag{7}\]
と表せる。もともと\(K=mv^2/2\)なのだから当然こうなるはずだ。したがって、
\begin{align}
\frac{\partial K}{\partial \dot{q_i}}&=\frac{\partial}{\partial \dot{q_i}}\sum_j\sum_k a_{jk}\dot{q_j}\dot{q_k}\\
&=2\sum_j\sum_k a_{jk}\delta_{ij}\dot{q_k}\\
&=2\sum_k a_{ik}\dot{q_k}\tag{8}
\end{align}
これを(6)に代入すれば、
\begin{align}
\sum_ip_i\dot{q_i}&=\sum_i\dot{q_i}\frac{\partial K}{\partial \dot{q_i}} \tag{6}\\
&=\sum_i\dot{q_i}\left(2\sum_k a_{ik}\dot{q_k}\right)\\
&=2\sum_i\sum_k a_{ik}\dot{q_i}\dot{q_k} \\
&=2K \tag{9}
\end{align}
を得る。ということは、
\[\sum_i p_i\dot{q_i}-L=2K-(K-U)=K+U\tag{10}\]
となって、この場合にはこれは
系の全エネルギーを表すことがわかる。これで(4)式がエネルギー保存則を表していることを確かめられた。そこで、
\[H=\sum_i p_i\dot{q_i}-L\tag{11}\]
とおいて新しい量を定義しよう。この\(H\)を
ハミルトニアン
と呼ぶ。
基本的にはハミルトニアンが系の全エネルギーを表しているとイメージして問題ないはずだ。もちろん、今回考えなかったパターンではあるがポテンシャルUが速度に関係しているような場合には、ハミルトニアンは系の全エネルギーを表さないだろう。(11)式をエネルギーと安易に呼んでしまわないのはその辺の事情があるのだ。でエネルギー保存則は
\[\frac{dH}{dt}=0\tag{12}\]
と書ける。