1.捩率とは
前回は接触平面上で、曲線がどのくらい曲がっているか、というその量を曲率・曲率半径として導出した。それと対になる量
捩率
(れい率、捩(ねじ)れ率) とは、ある曲線がどれだけ平面から離れていくか、ということを定量的に表した量である。捩率が0なら、その曲線は常に同じ平面上に乗るのだ。この量を調べると、実は曲線のフレネセレの式
\[
\frac{d}{ds}\left(\begin{array}{c} \b{t} \\ \b{n} \\ \b{b} \end{array}\right) =
\left( \begin{array}{ccc}
0 & \kappa & 0 \\
-\kappa & 0 & \tau \\
0 & -\tau & 0
\end{array} \right)
\left(\begin{array}{c} \b{t} \\ \b{n} \\ \b{b} \end{array}\right)\tag{1}
\]
の\(\tau\)がその役割を果たしていることがわかるのだ。(\(\b{t},\b{n},\b{b}\)はそれぞれ接ベクトル・主法線ベクトル・従法線ベクトル。) それを今回は示して、具体的にτを求める方法も考えてみよう。
いつものように計算が長いので、先に結論だけ。捩率\(\tau\)は、一般に適当なパラメータ\(t\)で表示された曲線\(\b{x}(t)\)について、
\[\tau=\left.\left(\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right)\cdot\frac{d^3\b{x}}{dt^3}\middle/\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|^2\right.\]
となる。まあまあきれいな式だと思う。
2.接触平面からのずれ
さて、ある点で曲線どれだけ平面からのズレているか、テイラー展開を使いながら調べてみる。どの平面からずれているかを考えるのかといえば、それは
接触平面だ。接触平面を知らない人は前回を参照して欲しい。
まず曲線は弧長\(s\)によってパラメータ表示されているとして、\(\b{x}(s)\)と書く。接触平面の法線ベクトルは、曲線の従法線ベクトル\(\b{b}\)であったことを思い出そう。そうすると、従法線ベクトルが単位ベクトルであることにより、\(s=s_0\)における接触平面から、曲線上の点\(\b{x}(s_0+\delta s)\)への距離\(D\)は、
\[D=\left(\b{x}(s_0 + \delta s) - \b{x}(s_0)\right)\cdot\b{b}\tag{2}\]
と表せる。
(1)をテイラー展開可能であるとして展開してみると、
\[D\cong\left[\b{x}'(s_0)\delta s + \frac{1}{2}\b{x}''(s_0)\delta s^2 + \frac{1}{6}\b{x}'''(s_0)\delta s^3\right]\cdot\b{b}\]
\(\b{\epsilon}\)というのは誤差項(ベクトル量)である。
ここで従法線ベクトル\(\b{b}\)が接ベクトルと主法線ベクトル\(\b{x}',\b{x}''\)に垂直だったことを思い出すとであったことを思い出すと、
\[D\cong\frac{1}{6}\b{x}'''\delta s^3\cdot\b{b}\tag{3}\]
となる。ここで\(\b{x}''=\kappa\b{n}\)に注意しながら、(1)のFrenet-Serretの式を使うと、
\begin{align}
\b{x}''' &= (\kappa\b{n})' \\
&= \kappa\b{n}'+\kappa'\b{n} \\
&= \kappa(-\kappa\b{t}+\tau\b{b}) + \kappa'\b{n}\tag{4}
\end{align}
と書き直せることから、
\begin{align}
D &\cong\frac{1}{6}\{\kappa(-\kappa\b{t}+\tau\b{b}) + \kappa'\b{n}\}\delta s^3\cdot\b{b} \\
&= \frac{1}{6}\kappa\tau \delta s^3\tag{5}
\end{align}
とできる。つまり、Frenet-Serretの式に出てきた\(\tau\)という謎の係数は、曲線がどのくらい接触平面からずれていくかという量を表したものであることが示せた。一応\(\kappa\)もその量に関係はしているわけだが、すでに曲率として前回曲線の曲がり具合を表す量であるということを見た。だから今回は、この\(\tau\)という量に接触平面からのずれを表す量としての名前をつけておこう。
これからは、Frenet-Serretの式の中の\(\tau\)を
捩率
と呼ぶことにする。
3.捩率0の場合はほんとに平面曲線なのか
ここまでは三次のテイラー展開による議論だったので、捩率\(\tau\)が0のとき確かに曲線が平面上に乗るかどうかが明らかでない。しかしそのことは比較的簡単に示すことができる。
\(\tau\)が0のとき、(4)は次のようになる。
\[\b{x}''' = -\kappa^2\b{t} + \kappa'\b{n}\]
このとき、同じように高次の微分を計算しても、一向に従法線ベクトル\(\b{b}\)成分が出てくることは無い。すなわち、曲線がテイラー展開可能なら、
\[D=0\]
が言えるわけだ。
それでなくとも、フレネセレの式から\(\tau=0\)のとき、従法線ベクトル\(\b{b}\)の変化が0、すなわち接触平面の方向が変化しないことはすぐに分かる。これでも十分なのかな?
4.捩率\(\tau\)の求め方
フレネセレの式に登場する捩率\(\tau\)を、弧長\(s\)ではない一般のパラメータ\(t\)によって表された曲線\(\b{x}(t)\)について求めるにはどうすればいいか考えてみよう。
弧長で表されている場合は簡単だ。フレネセレの式から、
\[\b{b}'=-\tau\b{n}\]
で\(\b{n}\)は単位ベクトルだから、
\[\tau=-\b{b}'\cdot\b{n}\]
という計算をすれば、捩率が求まる。
では一般の曲線について考えよう。従法線ベクトル\(\b{b}\)の定義は
\[\b{b}=\b{t}\times\b{n}\]
だから、\(\b{t},\b{n}\)を求めないといけない。大変な計算になる気しかしないが、やってみよう。まず、\(\b{t}\)は
\begin{align}
\b{t}&=\frac{d\b{x}}{ds}\\
&=\frac{dt}{ds}\frac{d\b{x}}{dt}\\
&=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}
\end{align}
である。
\[\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\]
は前回説明したとおりだ。次に\(\b{n}\)についても前回のを参照して、
\begin{align}
\kappa\b{n}&=\frac{d\b{t}}{ds}=\frac{d^2\b{x}}{ds^2}\\
&=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\left[-\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|^3}\left(\frac{d\b{x}}{dt}\cdot\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right)\frac{d\b{x}}{dt}+\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right]
\end{align}
さらに、
\[\kappa= \left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|/\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|^3\]
を使うと、
\[\b{n}=\frac{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|^2}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\left[-\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|^3}\left(\frac{d\b{x}}{dt}\cdot\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right)\frac{d\b{x}}{dt}+\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right]
\]
となる。
よって、\(\b{b}\)は、
\begin{align}
\b{b}&=\b{t}\times\b{n}\\
&=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}
\end{align}
これをさらに微分するとやっと捩率がでる。
\begin{align}
\frac{d\b{b}}{ds}
&=\frac{d}{ds}\left[\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right]\\
&=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right]\\
&=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}+\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}+\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^3\b{x}}{dt^3}\right]\\
&=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}+\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^3\b{x}}{dt^3}\right]
\end{align}
厄介な微分はあるが、今求めたいのは、\(\b{b}'\cdot\b{n}\)だから実は最初の項は消えてしまう。実際、\(\b{b}'\cdot\b{n}\)を計算してみると、
\begin{align}
\frac{d\b{b}}{ds}\cdot\b{n}&=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\left[\frac{d}{dt}\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}+\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^3\b{x}}{dt^3}\right]\cdot\frac{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|^2}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|}\left[-\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|^3}\left(\frac{d\b{x}}{dt}\cdot\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right)\frac{d\b{x}}{dt}+\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\right|}\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right]\\
&=\frac{1}{\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|^2}\left(\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^3\b{x}}{dt^3}\right)\cdot\frac{d^2\b{x}}{dt^2}
\end{align}
よって捩率\(\tau\)は、
\begin{align}
\tau &= -\frac{d\b{b}}{ds}\cdot\b{n}\\
&=\left.\left(\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right)\cdot\frac{d^3\b{x}}{dt^3}\middle/\left|\frac{d\b{x}}{dt}\times\frac{d^2\b{x}}{dt^2}\right|^2\right.\tag{6}
\end{align}
となる。マイナスによって外積の順番が逆にして、仕上げに積の順番をきれいに並び替えた。
かなり長い計算だったが、捩率を求める式をだすことができた。