1.今回やること
今回は、曲面上のある点で定義されている接ベクトルや法線ベクトルが、別の点に移ったときにどのように変化するか考える。これが微分幾何へと発展していくものなので、Riemann幾何を基礎に置く相対論など、物理の応用には事欠かない話題である。
先に結論だけ書くと、曲面\(\b{p}=\b{p}(u^1,u^2)\)の自然基底\(\{\b{p}_1,\b{p}_2\}\)の変化は、第一基本量\(g_{ij}\)・第二基本量\(h_{ij}\)・単位法ベクトル\(\b{N}\)を用いて、次の形になる。
\[
\frac{\partial \b{p}_i}{\partial u^j} = \sum_k \Gamma^k_{~ij}\b{p}_k + h_{ij}\b{N}\tag{*}
\]
ただし係数\(\Gamma^k_{ij}\)は第一基本量とその逆行列\(g^{ij}\)によって次のように書かれる。
\[\Gamma^k_{~ij} = \sum_l \frac{g^{kl}}{2}\left(\frac{\partial g_{li}}{\partial u^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right)\]
接ベクトルの微分を表した(*)式は、
Gauss-Codazziの式
と呼ばれ、係数\(\Gamma^k_{ij}\)は
クリストッフェル記号
とか
接続係数
とか、もしくは単に
接続
と呼ばれたりする。
一方で、法ベクトル\(\b{N}\)の変化は次の式で表される。
\[\frac{\partial \b{N}}{\partial u^j}=-\sum_k\sum_l h_{jl}g^{lk}\b{p}_k\tag{**}\]
こちらは
Weingartenの式
と呼ばれる。
今回はこれらの式を導出することが目標である。
2.曲面上のベクトルの組
曲面\(\b{p}=\b{p}(u^1,u^2)\)のある一点で、2本の接ベクトルと単位法線ベクトルでなされる基底
\[\left\{\frac{\partial \b{p}}{\partial u^1},\frac{\partial \b{p}}{\partial u^2},\b{N}\right\}\]
の変化を考えていこう。これからの取り扱いを簡単にするため、
\[\b{p}_i = \frac{\partial \b{p}}{\partial u^i}\tag{1}\]
と定義する。これで曲面上のある点における基底は\(\{\b{p}_1,\b{p}_2,\b{N}\}\)と書けることになった。目標は、これらのベクトルの変化を、曲面の第一基本量\(g_{ij}\)、第二基本量\(h_{ij}\)で表すことだ。これらの量の定義を復習しておくと、
\begin{align}
g_{ij}&=\frac{\partial\b{p}}{\partial u^i}\cdot\frac{\partial\b{p}}{\partial u^j}=\b{p}_i\cdot\b{p}_j\tag{2}\\
h_{ij}&=\frac{\partial\b{p}}{\partial u^i\partial u^j}\cdot\b{N}=\frac{\partial\b{p}_i}{\partial u^j}\cdot\b{N}=-\b{p}_i\cdot\frac{\partial\b{N}}{\partial u^j}\tag{3}
\end{align}
である。
3.接ベクトルの変化
さて、準備はこれくらいにして、具体的に接ベクトルの「変化」を求めてみよう。変化を求めるとはいっても、ただ微分を求めるだけなんだけど。
まず、\(\{\b{p}_1,\b{p}_2,\b{N}\}\)は基底ベクトルだから、接ベクトル\(\b{p}_i\)をパラメータ\(u^j\)で微分したものも、適当に係数を決めてあげれば、その線形結合によって表すことができるはずだ。計算を進めていくためにもまずは、
\[
\frac{\partial \b{p}_i}{\partial u^j} = \sum_k \Gamma^k_{~ij}\b{p}_k + \Gamma_{ij}\b{N}\tag{4}
\]
のように、係数の記号\(\Gamma^k_{~ij}\)を決めておこう。こんな変な記号で定義するのは、これからRiemann幾何や相対論につなげていくためだ。少しだけ寄り道だが、この式からすぐに、
\[\Gamma^k_{~ij} = \Gamma^k_{~ji}\tag{5}\]
であることがわかるだろう。なぜなら、偏微分はほとんどの場合交換可能であり、
\[\frac{\partial \b{p}_i}{\partial u^j} = \frac{\partial \b{p}_j}{\partial u^i}\]
という対称性があるからだ。
ここからは具体的にこの係数を第一基本量\(g_{ij}\)と第二基本量\(h_{ij}\)で表すことを目標に計算を進めよう。
まず簡単な\(\b{N}\)成分\(\Gamma_{ij}\)から考えてみよう。\(\b{N}\)成分を取り出すには、(4)式の両辺に\(\b{N}\)の内積を取れば良いので、
\[
\frac{\partial \b{p}_i}{\partial u^j}\cdot\b{N} = \Gamma_{ij}\tag{6}
\]
を得る。左辺は第二基本量\(h_{ij}\)の定義そのものなので、
\[\Gamma_{ij} = h_{ij}\tag{7}\]
となる。
次に\(\b{p}_k\)成分\(\Gamma^k_{~ij}\)はどうなるだろうか。少し長いし、天下り的な説明になってしまうことを最初に断っておこう。まずはさっきと同じように(4)式と\(\b{p}_l\)の内積を取ってみる。すると、
\[\frac{\partial \b{p}_i}{\partial u^j}\cdot\b{p}_l = \sum_k\Gamma^k_{~ij}\b{p}_k\cdot\b{p}_l\tag{8}\]
となる。2つの接ベクトル\(\b{p}_1,\b{p}_2\)は、(1)式によって定義したので、一般に直交していないことに注意しておこう。この式の右辺に出てきた接ベクトル同士の内積は、(2)式の第一基本量そのものなので、(8)式は
\[\frac{\partial \b{p}_i}{\partial u^j}\cdot\b{p}_l = \sum_k\Gamma^k_{~ij}g_{kl}\tag{9}\]
と書き直せる。さて、さらに次は左辺を第一基本量によって表すことを考えよう。ここで第一基本量を\(u^k\)で微分したものを考えると、左辺の量が現れる。
\begin{align}
\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}&=\frac{\partial }{\partial u^k}\left(\b{p}_i\cdot\b{p}_j\right)\\
&=\frac{\partial \b{p}_i}{\partial u^k}\cdot\b{p}_j+\b{p}_i\cdot\frac{\partial \b{p}_j}{\partial u^k}\tag{10}
\end{align}
こんな感じだ。次に、(9)をこの(10)に代入しよう。そうすると、式に現れる記号を第一基本量\(g_{ij}\)と求めたい係数\(\Gamma^k_{ij}\)だけにできる。
\[\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k} = \sum_l\Gamma^l_{~ik}g_{lj}+\sum_l\Gamma^l_{~jk}g_{li}\tag{11}\]
さて、このまま解いていってもいいのだが、シグマがたくさん出てきてわけがわからなくなりそうなので、先に新しい記号を次のように定義しておく。
\[\sum_l\Gamma^l_{~jk}g_{li} = \Gamma_{jk,i}\tag{12}\]
そうすると、(11)は、
\[\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k} = \Gamma_{ik,j} + \Gamma_{jk,i} \tag{13}\]
となる。
(13)式は、\(\Gamma_{jk,i}\)を第一基本量で表すための方程式である。ここで、\(\Gamma_{jk,i}\)は\(\Gamma^l_{~jk}\)の対称性(5)を引き継いで、次のような対称性
\[\Gamma_{jk,i} = \Gamma_{kj,i}\]
を持つ。これに注意すると、(13)式の\(i,j,k\)を巡回させた3つの式
\[
\begin{align}
\frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k} &= \Gamma_{ik,j} + \Gamma_{jk,i} \tag{14} \\\\
\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j} &= \Gamma_{kj,i} + \Gamma_{ij,k} \tag{15} \\\\
\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^i} &= \Gamma_{ji,k} + \Gamma_{ki,j} \tag{16}
\end{align}
\]
から\(\Gamma_{ij,k}\)を求めることができる。具体的には、(15)+(16)-(14)により、
\[\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j} + \frac{\partial g_{jk}}{\partial u^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k} = 2\Gamma_{ij,k}\]
を得る。つまり、
\[\Gamma_{ij,k}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j} + \frac{\partial g_{jk}}{\partial u^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\tag{17}\]
である。(12)を使って\(\Gamma^k_{~ij}\)に戻すと、
\[\sum_l\Gamma^l_{~ij}g_{lk}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{ki}}{\partial u^j} + \frac{\partial g_{jk}}{\partial u^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^k}\right)\tag{18}\]
あと少しだ。\(\Gamma^k_{~ij}\)を求めたいのだが、左辺には\(\sum_lg_{lk}\)という項がついている。どうすればいいだろうか。
(18)式の左辺はちょうど\((\Gamma^1_{ij},~\Gamma^2_{ij})\)というベクトルと、\(\{g_{ij}\}\)という行列の積になっているとみなせることに気付こう。ということは、両辺に\(\{g_{ij}\}\)の逆行列を掛ければ\(\Gamma^k_{~ij}\)を取り出せるはずだ。２次正方行列の逆行列なので、別に明示的に書いてもいいのだが、ここは微分幾何やリーマン幾何学への応用を見据えて、添字を上にあげた\(g^{ij}\)によって、逆行列を表すことにしよう。つまり、
\[\sum_k g_{ik}g^{kj} = \sum_k g^{ik}g_{kj} = \left\{\begin{array}{cc}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}\right.\tag{19}\]
である。じゃあ、この逆行列を(18)の両辺に掛けて\(\Gamma^k_{~ij}\)を取り出そう。やってやると、
\[\Gamma^k_{~ij} = \sum_l \frac{g^{kl}}{2}\left(\frac{\partial g_{li}}{\partial u^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial u^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial u^l}\right)\tag{20}\]
を得る。これで接ベクトルが曲面上でどのように変化するか求められたのだ。
4.法ベクトルの変化
続けて、法線ベクトル\(\b{N}\)についても考えてみよう。法ベクトルは大きさが常に1になるように定義したので、\(\b{N}\cdot\b{N}=1\)の両辺を微分すると、
\[\b{N}\cdot\frac{\partial \b{N}}{\partial u^i}=0\tag{21}\]
を得る。つまり法線ベクトルの微分は元のベクトルと直交するのだ。
だから、\(\b{N}\)の微分は\(\b{p}_1,\b{p}_2\)の一次結合によって書けるはずだ。係数は
\[\frac{\partial \b{N}}{\partial u^j}=\sum_k\lambda_j^{~k}\b{p}_k\tag{22}\]
と書いておこう。
これまでと同じようにすれば簡単に\(\lambda_j^k\)を求められる。まず、両辺に\(\b{p}_l\)の内積を取って、
\[\frac{\partial \b{N}}{\partial u^j}\cdot\b{p}_l=\sum_k\lambda_j^{~k}\b{p}_k\cdot\b{p}_l\tag{23}\]
第一基本量と第二基本量の定義(2),(3)と見比べて、(23)式は、
\[-h_{jl}=\sum_k\lambda_j^{~k}g_{kl}\tag{24}\]
となる。両辺に\(g^{li}\)を掛けてやれば、
\[\lambda_j^{i}=-\sum_l h_{jl}g^{li}\tag{25}\]
を得て、法ベクトルの変化のほうは簡単に求めることができた。