1. 量子テレポーテーションとは
量子テレポーテーションとは、適当な量子状態 \(\ket{\psi}\) を遠隔地に送り届けるためのテクニックである。このテクニックに必要なものは
- 送信者と受信者が、互いにエンタングルした量子系を保持していること。
- 送信者と受信者が通信路を確保していること。(古典情報がやり取りできれば良い。)
の二点だ。この2つの条件を満たせば、送信者と受信者が量子的なやりとりをすることなく、任意の量子状態 \(\ket{\psi}\) を送受信できる。このページでは、このテクニックについて解説する。
2. 1 qubit の量子テレポーテーションのアルゴリズム
1 qubit の任意の量子状態
\begin{align}
\ket{\psi} = \alpha\ket{0} + \beta\ket{1}
\end{align}
を A さんから B さんに送り届けるやり方を説明しよう。実は 1 qubit の量子状態を送るには、エンタングルした 2 つの qubit の片割れを A, B がそれぞれ持っていれば十分である。通信のリソースとなるエンタングルした 2 つの qubit を
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\ket{0}_A\ket{0}_B + \ket{1}_A\ket{1}_B\right)
\end{align}
と書くことにしよう。添字はそれぞれの qubit を A, B が持っていることを表している。(この 2 つの qubit は遠隔地にある。)
さて、全体の初期状態は、はじめ \(\ket{\psi}\) という量子状態を A さんが持っているのでそのことも加味して、
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2}}\ket{\psi}_A \left(\ket{0}_A\ket{0}_B + \ket{1}_A\ket{1}_B\right)
\end{align}
となる。この初期状態から次のようなアルゴリズム (
量子テレポーテーション) を使うことで A さんは B さんに \(\ket{\psi}\) を送信できる。
A さんの作業:
- \(\ket{\psi}_A\) からエンタングルした量子ビットの片割れに controlled-NOT ゲートをかける。
- \(\ket{\psi}_A\) にアダマールゲートをかける。
- 2 つのビットを 0, 1 測定する。測定結果を \(b_1\), \(b_2\) とする。
- 測定結果 \(b_1\), \(b_2\) を B さんに伝える。
B さんの作業:
- A さんの測定結果を受け取る。
- \(b_2\) が 1 だったらエンタングルの片割れに X ゲートをかける。
- \(b_1\) が 1 だったらエンタングルの片割れに Z ゲートをかける。
- もともとのエンタングルした片割れは \(\ket{\psi}\) に等しくなっている。
量子回路で表すと以下のようになる。
3. 量子テレポーテーションの数式
1 ステップごとに量子状態を追っていき、上で示した量子テレポーテーションのアルゴリズムが正しいことを確かめよう。
初期状態は
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\ket{0}_A+\beta\ket{1}_A) \left(\ket{0}_A\ket{0}_B + \ket{1}_A\ket{1}_B\right)
\end{align}
である。最初の CNOT ゲートで、量子状態は
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2}}[\alpha\ket{0}_A\left(\ket{0}_A\ket{0}_B + \ket{1}_A\ket{1}_B\right) \\
&\qquad +\beta\ket{1}_A\left(\ket{1}_A\ket{0}_B + \ket{0}_A\ket{1}_B\right)]
\end{align}
に変化する。次のアダマールゲートでは、少しめんどくさい計算だが、
\begin{align}
&\frac{1}{2}\ket{0}_A\ket{0}_A(\alpha\ket{0}_B + \beta\ket{1}_B) \\
&+\frac{1}{2}\ket{0}_A\ket{1}_A(\alpha\ket{1}_B + \beta\ket{0}_B) \\
&+\frac{1}{2}\ket{1}_A\ket{0}_A(\alpha\ket{0}_B - \beta\ket{1}_B) \\
&+\frac{1}{2}\ket{1}_A\ket{1}_A(\alpha\ket{1}_B - \beta\ket{0}_B)
\end{align}
となる。最初の 2 qubit の 0, 1 を測定すると、その結果に応じて状態が収縮する。
\begin{align}
00 &\to \ket{0}_A\ket{0}_A(\alpha\ket{0}_B + \beta\ket{1}_B) = \ket{0}_A\ket{0}_A\ket{\psi}_B \\
01 &\to \ket{0}_A\ket{1}_A(\alpha\ket{1}_B + \beta\ket{0}_B) = \ket{0}_A\ket{1}_A(X\ket{\psi})_B \\
10 &\to \ket{1}_A\ket{0}_A(\alpha\ket{0}_B - \beta\ket{1}_B) = \ket{0}_A\ket{0}_A(Z\ket{\psi})_B \\
11 &\to \ket{1}_A\ket{1}_A(\alpha\ket{1}_B - \beta\ket{0}_B) = \ket{0}_A\ket{0}_A(XZ\ket{\psi})_B
\end{align}
この式を見れば、最後に測定結果に応じて \(X, Z\) ゲートをかけることで \(\ket{\psi}\) という量子状態を B さんが受け取れることが一目瞭然かと思う。
5. ベル測定
実はここで使われた CNOT ゲート + H ゲート + 測定というシーケンスは、
ベル測定
と呼ばれている。CNOT + H ゲートは、
ベル状態
とか
ベル基底
と呼ばれる
最大にエンタングルした 4 つの状態
\begin{align}
\ket{\Phi_0} &= \frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt{2}}\\
\ket{\Phi_1} &= \frac{\ket{01}+\ket{10}}{\sqrt{2}}\\
\ket{\Phi_2} &= \frac{\ket{00}-\ket{11}}{\sqrt{2}}\\
\ket{\Phi_3} &= \frac{\ket{01}-\ket{10}}{\sqrt{2}}
\end{align}
をそれぞれ
\begin{align}
\ket{\Phi_0} &\to \ket{00}\\
\ket{\Phi_1} &\to \ket{01}\\
\ket{\Phi_2} &\to \ket{10}\\
\ket{\Phi_3} &\to \ket{11}
\end{align}
に変換する働きがある。したがって、CNOT ゲート + H ゲート + 測定 というシーケンスは結局のところ、\(\ket{\Phi_i}\) に対する射影測定をしていることになる。
そこで初期状態の A さん側を \(\ket{\Phi_i}\) で展開してみると、
\begin{align}
&\frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\ket{0}_A+\beta\ket{1}_A) \left(\ket{0}_A\ket{0}_B + \ket{1}_A\ket{1}_B\right)\\
&=\frac{1}{2}\ket{\Phi_0}_A(\alpha\ket{0}_B + \beta\ket{1}_B) \\
&+\frac{1}{2}\ket{\Phi_1}_A(\alpha\ket{1}_B + \beta\ket{0}_B) \\
&+\frac{1}{2}\ket{\Phi_2}_A(\alpha\ket{0}_B - \beta\ket{1}_B) \\
&+\frac{1}{2}\ket{\Phi_3}_A(\alpha\ket{1}_B - \beta\ket{0}_B)
\end{align}
となっており、確かにこのベル基底に対して射影測定をすればテレポーテーションが起きることがわかるだろう。
5. 一般の最大エンタングル状態を使ったテレポーテーション
以上では
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\ket{0}_A\ket{0}_B + \ket{1}_A\ket{1}_B\right)
\end{align}
というエンタングル状態を使ってテレポーテーションを行った。これは
最大にエンタングルした状態である。最大にエンタングルした量子状態はこれだけではないが、他の量子状態を使っても同じことができるだろうか?
そこでここでは、\(N\) 次元の最大エンタングル状態
\begin{align}
\ket{\Phi^{AB}} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=0}^{N-1} \ket{i}_A\ket{i}_B
\end{align}
を使ったテレポーテーションを考えてみよう。テレポートさせたい状態も \(N\) 次元の量子状態
\begin{align}
\ket{\psi} = \sum_{i=0}^{N-1} a_i \ket{i}
\end{align}
であるとする。したがって、初期状態は
\begin{align}
\left(\sum_{i=0}^{N-1} a_i \ket{i}_A\right)\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} \ket{j}_A\ket{j}_B\right)
\end{align}
である。
少し天下り的だが、N 次元の 2 つの量子系が最大にエンタングルした状態は、
\begin{align}
\ket{\Phi_{nm}} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} e^{i2\pi nj/N}\ket{j+m~\mathrm{mod}~N}\ket{j}
\end{align}
とかける。ただし \(n,m\) は \(0\leq n,m \lt N\) の整数である。この \(\ket{\Phi_{nm}}\) によって A さんの持つ初期状態を展開してみよう。
まず、
\begin{align}
\ket{\Phi_{nm}} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} e^{i2\pi nj/N}\ket{j+m~\mathrm{mod}~N}\ket{j}
\end{align}
の式を逆に \(\ket{j+m~\mathrm{mod}~N}\ket{j}=\) の形にする。これには離散フーリエ変換と同じように、両辺に \(e^{-i2\pi nk/N}/\sqrt{N}\) をかけて \(n\) に関する和を取ればよくて、
\begin{align}
\ket{k+m~\mathrm{mod}~N}\ket{k} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-i2\pi nk/N} \ket{\Phi_{nm}}
\end{align}
となる。この式を初期状態へと代入するが
\begin{align}
&\left(\sum_{i=0}^{N-1} a_i \ket{i}_A\right)\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} \ket{j}_A\ket{j}_B\right)\\
&=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} \sum_{i=0}^{N-1} a_i \ket{i}_A \ket{j}_A\ket{j}_B \\
&=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} a_{j+m~\mathrm{mod}~N} \ket{j+m~\mathrm{mod}~N}_A \ket{j}_A\ket{j}_B
\end{align}
に注意して、
\begin{align}
&=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} a_{j+m~\mathrm{mod}~N} \left(\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-i2\pi nj/N} \ket{\Phi_{nm}}\right)\ket{j}_B \\
&=\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1} a_{j+m~\mathrm{mod}~N} e^{-i2\pi nj/N} \ket{\Phi_{nm}} \ket{j}_B \\
&=\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} \left(\sum_{m=0}^{N-1} \sum_{n=0}^{N-1} a_{j+m~\mathrm{mod}~N} e^{-i2\pi nj/N}\ket{\Phi_{nm}}\right) \ket{j}_B \\
\end{align}
を得る。
さて、A さんが \(\ket{\Phi_{nm}}\) に対する射影測定を行って、\(\ket{\Phi_{n_0 m_0}}\) という結果を得たとする。このとき B さんには
\begin{align}
\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} a_{j+m_0~\mathrm{mod}~N} e^{-i2\pi n_0 j/N} \ket{j}_B \\
\end{align}
という状態が残される。1 qubit の量子テレポーテーションと同様に、A さんが B さんに \(n_0, m_0\) という情報を渡していれば、B さんはその情報をもとに、
\begin{align}
&\frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} a_{j+m_0~\mathrm{mod}~N} e^{-i2\pi n_0 j/N} \ket{j}_B \\
&\to \frac{1}{N}\sum_{j=0}^{N-1} a_{j} \ket{j}_B
\end{align}
という変換ができるだろう。これで一般の最大にエンタングルした状態を用いても、量子テレポーテーションを行えることがわかった。
最大エンタングル状態 \(\ket{\Phi_{nm}}\) の構成については C.H. Bennett, et al. PRL 70, 1895 (1993) を参考にした。