1. 文字の定義と導入
今回も摂動論の話である。いつものように、大きなハミルトニアン\(H_0\)と、摂動ハミルトニアン\(H_1\)、摂動の大きさを\(\lambda\)として、シュレディンガー方程式
\[i\frac{d}{dt}\ket{\psi(t)} = (H_0 + \lambda H_1) \ket{\psi(t)}\tag{1}\]
を考える。今回は、摂動ハミルトニアン\(H_1\)は時間依存せずに定数であるとする。その条件下で、ある初期時刻\(t=0\)からの時間発展を考える。
(\(\hbar\)は書くと面倒なので、ハミルトニアンに含めてしまった。ハミルトニアンの単位がエネルギーでなくて周波数になっていると思えば良い。)
このまま解析しても良いのだが、\(H_0\)がよくわかっているハミルトニアンであるときには、相互作用表示と呼ばれる形式に移るのが便利なのだった。相互作用表示では、(1)式を
\[\ket{\psi_I(t)} = e^{iH_0t}\ket{\psi(t)}\tag{2}\]
と定義した状態\(\ket{\psi_I(t)}\)に関する方程式に書き換える。代入してちょいちょいっと計算すると、
\[i\frac{d}{dt}\ket{\psi_I(t)} = \lambda e^{iH_0t}H_1e^{-iH_0t}\ket{\psi_I(t)}\tag{3}\]
を得る。さらに式を簡単にするために、
\[H_I(t) = e^{iH_0t}H_1e^{-iH_0t}\tag{4}\]
と定義すると、
\[i\frac{d}{dt}\ket{\psi_I(t)} = \lambda H_I(t)\ket{\psi_I(t)}\tag{5}\]
となる。この表示で、時間発展演算子\(U_I(t)\) (\(U_I(t)\ket{\psi_I(0)}=\ket{\psi_I(t)}\)) を定義すると、\(U_I(t)\)に関する方程式は、
\[i\frac{d}{dt}U_I(t) = \lambda H_I(t)U_I(t)\tag{6}\]
である。今回はこの方程式の近似解を得る一つの手法、 Secular Approximation なるものを解説してみたいと思う。
ちなみに、光と原子の相互作用を考えるときや、NMRの話をするときによく使われる
回転波近似 Rotation Wave Approximation, RWA)
と呼ばれる近似は、このSecular Approximationの特別な場合として捉えられる。だからもしかしたらそっちを勉強してから、今回紹介するような一般論をやったほうがわかりやすいかもしれない。
2. 書き下す。
さて、相互作用表示におけるハミルトニアン
\[H_I(t) = e^{iH_0t}H_1e^{-iH_0t}\tag{4}\]
を考えよう。まず\(e^{iH_0t}\)を、\(H_0\)の固有状態\(\ket{n}\)と対応する固有値\(\omega_n\)を使って書き下してみる。まず\(H_0\)は、
\[H_0 = \sum_n \omega_n \ket{n}\bra{n}\tag{7}\]
と書ける。したがって、\(e^{iH_0t}\)は (こういう計算に慣れていない人のために少し丁寧に書くと、)
\begin{align}
e^{iH_0t} &= I + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} (iH_0t)^k \\
&= I + \sum_{k=1}^\infty \frac{(it)^k}{k!} \left(\sum_n \omega_n\ket{n}\bra{n}\right)^k \\
&= I + \sum_{k=1}^\infty \frac{(it)^k}{k!} \left(\sum_n \omega_n^k\ket{n}\bra{n}\right) \\
&= I + \sum_n \ket{n}\bra{n} \sum_{k=1}^\infty \frac{(i\omega_nt)^k}{k!} \\
&= \sum_n \ket{n}\bra{n} \sum_{k=0}^\infty \frac{(i\omega_nt)^k}{k!} \\
&= \sum_n e^{i\omega_n t}\ket{n}\bra{n}\\
\end{align}
となる。これを代入すると、
\begin{align}
H_I(t) &= \left(\sum_n e^{i\omega_n t}\ket{n}\bra{n}\right)H_1\left(\sum_m e^{-i\omega_m t}\ket{m}\bra{m}\right) \\
&= \sum_n\sum_m e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\ket{n}\bra{n}H_1 \ket{m}\bra{m}\\
&= \sum_n\sum_m e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\bra{n}H_1\ket{m} \ket{n}\bra{m}
\end{align}
と、\(H_I(t)\)が書き下されることがわかる。見やすくするために、\(H_{nm} = \bra{n}H_1\ket{m}\)と置く。
\begin{align}
H_I(t) &= \sum_n\sum_m H_{nm}e^{i(\omega_n-\omega_m)t} \ket{n}\bra{m} \tag{8}
\end{align}
これを元のシュレディンガー方程式 (6) に代入すると、
\[i\frac{d}{dt}U_I(t) = \lambda \sum_n\sum_m H_{nm}e^{i(\omega_n-\omega_m)t} \ket{n}\bra{m}U_I(t)\tag{9}\]
が得られる。
3. Secular Approximation
さて、この微分方程式(7)の解がどうなるべきか、定性的に考えてみよう。右辺の項はそれぞれ、\(H_0\)の準位間のエネルギー差\(\omega_n-\omega_m\)に対応する速さで振動している。一方で(6)や(7)式をみればわかるように、摂動ハミルトニアンによる\(U_I(t)\)の時間変化は、摂動の大きさ\(\lambda\)に比例した速さである。したがって、もし\(\lambda\)が\(\omega_n-\omega_m\)よりも十分小さいならば、そのような項による時間発展は、ほとんど平均化されてしまって消えてしまうことが予想される。なぜなら、一度\(+\lambda\)のハミルトニアンで少しだけ時間発展しても、すぐに符号が反転して、次は\(-\lambda\)のハミルトニアンで時間発展することになり、常に打ち消し合ってしまうからだ。
逆に、\(\lambda\)が\(\omega_n-\omega_m\)と同じくらい大きいときには、一回目の\(+\lambda\)の時間発展がかなり大きいものになり、しかもそれが時間依存しているため、\(-\lambda\)の時間発展でも元に戻らなくなる。したがって、そのような項は無視できない寄与があると考えられる。
そうすると、(7)式では全ての\(n,m\)について和をとっていたものを、\(\omega_n-\omega_m\)が十分小さいもの、つまり\(|\omega_n-\omega_m|\ll|\lambda|\)が成り立つような\(n,m\)の組み合わせだけにして、次のような近似ができそうである。
\[i\frac{d}{dt}U_I(t) \approx \lambda \sum_{|\omega_n-\omega_m|\ll|\lambda|} H_{nm}e^{i(\omega_n-\omega_m)t} \ket{n}\bra{m}U_I(t)\tag{10}\]
この近似を、
Secular Approximation
(日本語でいうなら
永年近似
?) と呼ぶ。ようするに、速く振動する項 (non-secular term) を落としてしまって、遅く振動する項 (secular term) だけを残す近似がSecular Approximationである。
この近似は、ハミルトニアン自体を、
\[H_I(t) \approx \sum_{|\omega_n-\omega_m|\ll|\lambda|} H_{nm}e^{i(\omega_n-\omega_m)t} \ket{n}\bra{m}\tag{11}\]
と近似しているとも考えられるので、Secular Approximationといったときには、この式を指すこともある。また、\(\omega_n-\omega_m\)が十分小さいことに注意すると、それなりの\(t\)のスケールで、\(e^{i(\omega_n-\omega_m)t}\approx 1\)が成り立つから、
\[H_I(t) \approx \sum_{|\omega_n-\omega_m|\ll|\lambda|} H_{nm}\ket{n}\bra{m}\tag{12}\]
と書いてしまうときもある。
さらにいうなら、相互作用表示と元のハミルトニアンの関係は、(4)式\(H_I(t) = e^{iH_0t}H_1e^{-iH_0t}\)で与えられていたから、(9)式を代入して、元のハミルトニアン\(H_1\)で考えると、
\begin{align}
H_1 &= e^{-iH_0t}H_I(t)e^{iH_0t} \\
&\approx \sum_{|\omega_n-\omega_m|\ll|\lambda|} H_{nm}e^{i(\omega_n-\omega_m)t} e^{-iH_0t}\ket{n}\bra{m}e^{iH_0t}\\
&= \sum_{|\omega_n-\omega_m|\ll|\lambda|} H_{nm} \ket{n}\bra{m} \\
\end{align}
となり、次のような近似をしていることがわかるだろう。
\[H_1 = \sum_n\sum_m H_{nm} \ket{n}\bra{m} \approx \sum_{|\omega_n-\omega_m|\ll|\lambda|} H_{nm} \ket{n}\bra{m}\tag{13}\]
相互作用表示での近似に比べて、振動項がない分どのような近似をしたのか少しわかりにくいが、この(11)式を指して Secular Approximation ということもある。
4. 摂動論からみる Secular Approximation
前回、
前々回、シュレディンガー方程式(5) を近似的に解く方法を扱った。前々回の
ダイソン級数
では
\[U_I(t) = I + \sum_{k=1}^\infty (-i\lambda)^k \int_0^t dt_1\int_0^{t_1}dt_2\cdots\int_0^{t_{k-1}}dt_k H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k) \tag{14} \]
が得られ、前回の
Magnus 展開
(平均ハミルトニアン理論) では、
\begin{align}
U_I(t) = \exp&\left[-i\lambda\int_0^t dt_1 H_I(t_1)\right. \\
& - \frac{\lambda^2}{2}\int_0^t dt_1\int_0^{t_1} dt_2 [H_I(t_1),H_I(t_2)] \\
& + \frac{i\lambda^3}{6}\int_0^t dt_1\int_0^{t_1} dt_2 \int_0^{t_2} dt_3 \left([H_I(t_1),[H_I(t_2),H_I(t_3)]] + [H_I(t_3),[H_I(t_2),H_I(t_1)]]\right)\tag{15}\\
& \left.\cdots\right]
\end{align}
という近似式を得た。
ダイソン級数とMagnus展開で少し形式は違うものの、どちらの場合でも最低次の近似、つまり\(\lambda\)に関して1次の項だけを取り出して考える時、重要になるのは次の積分である。
\[ F(t) = \int_0^t H_I(t_1) dt_1 \tag{16}\]
ここに、\(H_I(t)\)の行列表示 ()
\begin{align}
F(t) &= \sum_n\sum_m H_{nm}\ket{n}\bra{m} \int_0^t e^{i(\omega_n-\omega_m)t_1} dt_1
\end{align}
となる。ここからは\(\omega_m\)と\(\omega_n\)の関係によって場合分けして積分する必要がある。\(\omega_m=\omega_n\)の場合と、\(\omega_m\neq\omega_n\)の場合に分けてやると、
\[
\int_0^t e^{i(\omega_n-\omega_m)t_1} dt_1 = \left\{\begin{array}{cc}
\frac{e^{i(\omega_n-\omega_m)t-1}}{i(\omega_n-\omega_m)} & (\omega_m \neq \omega_n)\\
t & (\omega_m = \omega_n)
\end{array}\right.
\]
である。
したがって、
\[F(t) = \sum_{\omega_n\neq\omega_m} \frac{\lambda H_{nm}}{\omega_n-\omega_m}\ket{n}\bra{m} (e^{i(\omega_n-\omega_m)t}-1) + \sum_{\omega_n=\omega_m} \lambda H_{nm}t\ket{n}\bra{m} \tag{17}\]
と近似されることがわかる。このようにみると、Secular Approximation の条件がよく分かる。\(|\lambda| \ll |\omega_n-\omega_m|\)であるような項は、他の項にくらべてずっと小さいことから無視できてしまうわけだ。
5. 交換関係からみる Secular Approximation
ここまで、速く振動する項を落とす近似として、Secular Approximation を導出した。ここまでのやり方で実際この近似を使おうと思ったとき、その手順は、
- 毎回\(H_1\)の行列要素\(H_{nm}\)を書き下す。
- (11)式のように\(\omega_n-\omega_m\)が十分小さい項だけを残す。
- 近似した行列を解析する。
のようなものになる。しかし例えば、摂動ハミルトニアンが\(H_1 = \sum_i h_i\)のように部分的なハミルトニアン\(h_i\)の和で書かれているような場合に、たいてい僕たちが物理的に興味を持つのは、Secular Approximationを使って出てきた結果が、どの\(h_i\)を無視していて、どの\(h_i\)が生き延びさせているかというような情報である。そういうことをしようと思って、上の手順にしたがって行列要素で近似を行ってから、もとの\(h_i\)についての情報を得ようとすると、大概とっても煩雑で気の遠くなるような作業が待っている。
そこで、もっと直感的に、行列を書き下すことなしに、演算子表示のままSecular Approximationを定式化したいところである。
と思って色々調べたのだが、このようにハミルトニアンの縮退を演算子の関係から見つける問題は、ハミルトニアンの対称性に深ーく関連しているらしい。しかし僕の力不足で、いまのところうまく自分の中でまとめられていない。大仕事になりそうなので、多分また違う記事としてまとめることになると思う。
しかし、一応これまでに理解している (と思う) ことをメモとしてここに残しておく。だからこの後は話半分で読んでもらったほうがいいと思う。
基本的には、ハミルトニアン\(H_0\)の縮退を見つけるということは、ハミルトニアンと可換であるようなユニタリー演算子\(\{U\}\)を全て見つけることに対応しているようである。そのようなユニタリー演算子\(U\)を\(H_0\)の固有状態\(\ket{n}\)にかけたものについて、以下の計算をしてみると、
\[H_0 (U \ket{n}) = UH_0 \ket{n} = \omega_n (U\ket{n})\]
となって、\(U\ket{n}\)は\(H_0\)に関して\(\ket{n}\)と同じ固有値を持つことがわかる。だから、そのような\(U\)を「全て」見つけることができれば、\(\ket{n}\to U\ket{n}\)のような変換によって、同じ固有値に属する固有状態を「全て」作り出すことができるのだろう。また、\(H_0\)が\(U\)と可換であるとき、
\[H_0 = UH_0U^\dagger\]
が成り立ち、\(H_0\)と\(U\)が可換であることは、ハミルトニアンが\(U\)によって表現される座標変換によって不変である、すなわち対称であることと等価である。つまり縮退している準位を取り出すという問題は、ハミルトニアンの対称性を全て見つけ出す問題に帰着する。
ところで一般にユニタリー演算子は、あるエルミート演算子\(G\)によって、\(U=e^{iG}\)と表すことができる。特にハミルトニアンが連続的な対称性 (例えば軸対称性) を持つ場合、実数\(\theta\)を用いて、その変換の集合を\(\{U_\theta\}=\{e^{i\theta G}\}\)のように表せる。これが全て\(H_0\)と可換であるための条件は、\(H_0\)と\(G\)が可換であること、すなわち
\[[H_0,G]=0\]
である。
そうすると、\(H_0\)がこのような連続的な対称性だけを持つようなものであった場合、\(H_0\)と可換となるエルミート演算子\(\{G\}\)を全て見つければ良いわけだ。
ようするにそのような場合には、\(H_0\)と交換子をとる、という演算子\([H_0,\cdot]\)について、固有値\(0\)を持つようなエルミート演算子の空間を見つければ良い。ちなみに\([H_0,\cdot]\)という演算子は、Hilbert-Schmidt 内積に関してエルミートである。だから全ての固有ベクトル (この場合は演算子だが) を著効するように求めることができる。そうして問題は\([H_0,\cdot]\)というエルミート演算子の固有ベクトルを求める問題に帰着する。
そしてこの固有ベクトルを求めたときには当然、\(H_0\)と非可換であるような項が現れる。\([H_0,\cdot]\)という演算子に対して\(0\)でない固有値を持つような固有ベクトル\(\bar{G}\)である。\(V=e^{i\theta\bar{G}}\)という変換を考えると、これは全く固有値の異なる準位間を遷移させるような変換になっていて、この項はSecular Approximationで無視すべき項である。
したがって、連続対称性をもつハミルトニアンによる Secular Approximation は、\([H_0,\cdot]\)に関して固有値\(0\)を持つ\(\{G_j\}\)と、そうでない\(\{\bar{G}_j\}\)を求め、\(H_1\)を\(\{G_i\},\{\bar{G}_j\}\)で展開した後に、\(\{\bar{G}_j\}\)の項を無視するような近似として定式化できるだろう。
どうだろう。Twitterでコメント大歓迎です。