1. 相互作用座標系
前回は、初期状態\(\ket{\psi(0)}\)を、ある時刻\(t\)での状態\(\ket{\psi(t)}\)に写す「時間発展演算子」\(U(t)\)というものを考え、それに関する摂動論を展開した。時間発展演算子とは、
\[\ket{\psi(t)} = U(t)\ket{\psi(0)}\tag{1}\]
となるような演算子のことで、ハミルトニアンが\(H_0+\lambda H_1(t)\) (\(H_0\)：大きなハミルトニアン・\(H_1\)：摂動ハミルトニアン・\(\lambda\)：小さな実数) と書かれているとき、これを用いてシュレディンガー方程式を書き換えると、
\[i\hbar\frac{d}{dt}U(t) = (H_0 + \lambda H_1(t)) U(t)\tag{2}\]
という\(U(t)\)に関する微分方程式が得られる。前回はこの方程式を\(\lambda\)についてべき展開して解いたわけだが、今回は、もっとスッキリとした計算のできる「相互作用座標系 (interaction frame) 」における摂動論を書いていく。今回も\(\hbar\)は邪魔なので、\(H/\hbar\)を改めて\(H\)と書くことにする。
さて、まずは「相互作用座標系」なるものを導こう。これの導出には、時間発展演算子\(U(t)\)に関するシュレディンガー方程式 ((2)式) では無くて、状態\(\ket{\psi(t)}\)に関するシュレディンガー方程式
\[i\frac{d}{dt}\ket{\psi(t)} = (H_0+\lambda H_1(t))\ket{\psi(t)}\]
を使うほうがわかりやすい。これを次のように変形してやる。
\begin{align}
\frac{d}{dt}\ket{\psi(t)}+iH_0\ket{\psi(t)} &= -i\lambda H_1(t)\ket{\psi(t)}\\
e^{-iH_0t}\frac{d}{dt}\left(e^{iH_0t}\ket{\psi(t)}\right) &= -i\lambda H_1(t)\ket{\psi(t)}\\
\frac{d}{dt}\left(e^{iH_0t}\ket{\psi(t)}\right) &= -i\lambda e^{iH_0t}H_1(t)\ket{\psi(t)}\\
\end{align}
この式から、
\[\ket{\psi_I(t)} = e^{iH_0t}\ket{\psi(t)}\tag{3}\]
と定義すると、この\(\ket{\psi_I(t)}\)の微分方程式として、
\[\frac{d}{dt}\ket{\psi_I(t)} = -i\lambda e^{iH_0t}H_1(t)e^{-iH_0t}\ket{\psi_I(t)}\tag{4}\]
を得る。(3)で定義した状態\(\ket{\psi_I(t)}\)を「相互作用表示 (もしくは相互作用座標系, interaction frame) における状態」と呼ぶ。相互作用表示では、(4)式を解いて\(\ket{\psi_I(t)}\)の時間発展を求めることが目標となる。摂動論では、大きなハミルトニアン\(H_0\)の素性はよくわかっているものとして扱うから、\(e^{-iH_0t}\)のような関数も簡単に計算できる。したがって、(4)式が解ければすぐに元の\(\ket{\psi(t)}\)もすぐに分かるというわけだ。
こんな変形をするのにはわけがある。摂動がない場合を考えてみると、\(\lambda=0\)だから、
\[\frac{d}{dt}\ket{\psi_I(t)} = 0\]
である。したがって、摂動が無い場合には相互作用表示における状態は全く変化しない。これが相互作用表示を使う利点である。少しでも\(\ket{\psi_I(t)}\)が変化すれば、それは摂動\(H_1(t)\)によるものであり、摂動の特徴を効率的に捉えることができるのだ。
ちなみに「相互作用」表示と呼ぶのは、よく、独立な1粒子のハミルトニアン (例えば\(\frac{\nabla^2}{2m}+V(r)\)) を\(H_0\)として、粒子間の相互作用 (例えばクーロン力) を\(H_1(t)\)として考えることが多いからだ。(4)が相互作用だけに着目する形式になっているから、相互作用表示と呼ぶのである。
2. 時間発展演算子と摂動展開
式の見た目をすっきりさせるため、(4)式の右辺のハミルトニアン部を改めて
\[H_I(t) = e^{iH_0t}H_1(t)e^{-iH_0t}\tag{5}\]
とおこう。そうするとシュレディンガー方程式は
\[\frac{d}{dt}\ket{\psi_I(t)} = -i\lambda H_I(t)\ket{\psi_I(t)}\tag{6}\]
となる。
前回と同じように、時間発展演算子\(U_I(t)\)を定義してみよう。時間発展演算子は、初期状態\(\ket{\psi_I(0)}\)を時間\(t\)に写す演算子 (\(U_I(t)\ket{\psi_I(0)} = \ket{\psi_I(t)}\)) である。これを(6)に代入すれば、時間発展演算子についてのシュレディンガー方程式
\[\frac{d}{dt}U_I(t) = -i\lambda H_I(t) U_I(t)\tag{7}\]
を得る。前回も述べたように、時間発展演算子\(U_I(t)\)の初期条件は\(U_I(0)=I\)(恒等演算子 (単位行列) )である。
さて、今回も例に漏れず摂動展開しよう。
\[U_I(t) = I + \lambda U_I^{(1)}(t) + \lambda^2 U_I^{(2)}(t) + \cdots \tag{8}\]
とする。初期条件は\(U_I^{(k)}(0)=0\)である。これを(7)に代入して、\(\lambda\)の次数ごとに等式を作れば、
\begin{align}
i\frac{d}{dt}U_I^{(1)}(t) &= H_I(t)I\\
i\frac{d}{dt}U_I^{(2)}(t) &= H_I(t)U_I^{(1)}(t)\\
i\frac{d}{dt}U_I^{(3)}(t) &= H_I(t)U_I^{(2)}(t)\\
\cdots
\end{align}
となり、前回までとは比べ物にならないほど簡単な式が得られた。これも相互作用表示の恩恵である。
3. 摂動解
摂動展開して導出した式を、上から順に解いていこう。とはいっても、積分するだけである。まず一番上の式から、
\[U_I^{(1)}(t) = -i\int_0^t dt_1 H_I(t_1) \tag{9}\]
を得る。これを次の式の右辺に代入すれば、
\[i\frac{d}{dt}U_I^{(2)}(t) = -iH_I(t)\int_0^t H_I(t_1) dt_1\]
なので、積分して、
\[U_I^{(2)}(t) = -\int_0^t dt_1\int_0^{t_1} dt_2 H_I(t_1)H_I(t_2)\tag{10}\]
となる。続けて、\(U_I^{(3)}(t),U_I^{(4)}(t),\cdots\)も求めれば、一般に\(k\)次の項は
\[U_I^{(k)}(t) = (-i)^k \int_0^t dt_1\int_0^{t_1}dt_2\cdots\int_0^{t_{k-1}}dt_k H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k)\tag{11}\]
が得られる。
4. ダイソン級数・時間順序積
相互作用表示での時間発展演算子は結局、
\[U_I(t) = I + \sum_{k=1}^\infty (-i\lambda)^k \int_0^t dt_1\int_0^{t_1}dt_2\cdots\int_0^{t_{k-1}}dt_k H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k) \tag{12} \]
と表されることがわかった。この形式の摂動展開は、
ダイソン級数 (Dyson series)
と呼ばれる。
これを少し書き直すと、指数関数のような形式に持っていける。ここではそれを説明しよう。
着目するのは、\(k\)次の摂動
\[U_I^{(k)}(t) = (-i)^k \int_0^t dt_1\int_0^{t_1}dt_2\cdots\int_0^{t_{k-1}}dt_k H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k)\tag{11}\]
において、積分変数 \(t_1, t_2, \cdots, t_k\) の間に常に大小関係 \(t_1\geq t_2\geq\cdots\geq t_k\) が成り立っているということだ。そこで、
時間順序演算子 (time ordering operator)
\(\mathcal{T}\) なるものを導入する。時間順序演算子とは、時間に依存する演算子の積\(A(t_1)B(t_2)\)に作用させた時、
\[\mathcal{T} \left[A(t_1)B(t_2)\right] = \left\{
\begin{array}{lc}
A(t_1)B(t_2)& (t_1\gt t_2)\\
B(t_2)A(t_1)& (t_2\gt t_1)
\end{array}\right.
\]
と、演算子の積の順序を、左側に時間変数の大きい演算子が来るように変える演算子である。実はこれを使うことで、(11)式の積分範囲を全て\(0\to t\)にして、
\[U_I^{(k)}(t) = \frac{(-i)^k}{k!} \int_0^t dt_1\int_0^t dt_2\cdots\int_0^t dt_k \mathcal{T}\left[H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k)\right]\tag{13}\]
と書き換えられる。この変形を以下で証明しよう。
まず注意するのは、被積分関数を、
\[A(t_1,t_2,\cdots,t_k) = \mathcal{T}\left[H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k)\right]\]
とすると、この関数 \(A(t_1,t_2,\cdots,t_k)\) は全ての引数 \(t_i\) の交換について対称になっていることだ。なぜなら、\(t_i\)と\(t_j\)を交換したとしても、時間順序演算子 \(\mathcal{T}\) が演算子の順序を元に戻してしまうからだ。
それに加えて、(13)式の積分範囲 (\(0\leq t_i \leq t\) という\(k\)次元の超立方体) は、\(t \geq t_1\geq t_2\geq\cdots\geq t_k \geq 0\), \(t \geq t_2\geq t_1\geq\cdots\geq t_k \geq 0\), etc...の\(k!\)個の領域に分割できることを使う。(\(k!\)というのは、可能な全ての並べ替え (順列) の数から来ている。)
例えば二次元なら、\(0\leq t_1\leq t\), \(0\leq t_2\leq t\)という正方形の積分領域は、
\begin{align}
t\geq t_1 \geq t_2 \geq 0\\
t\geq t_2 \geq t_1 \geq 0
\end{align}
という2つの三角形領域に分割できる。図を書いてみるとわかりやすいと思う。三次元なら、立方体の領域が同じようにして\(3!\)個の6つの三角錐の領域に分割される。
このように、ただ単に不等式で変数の入れ替えをするという操作だけによって積分領域を分割しているので、変数の入れ替えによって値を変えない関数 \(A(t_1,t_2,\cdots,t_k)\) のそれぞれの積分領域での値は全く同じになるべきである。先程述べたように、\(0\leq t_i \leq t\) という\(k\)次元の超立方体をこのようなやり方によって分割すると、\(k!\)個の領域が得られる。その全ての領域において積分値が同じになるというのだから、そのうちの一つの領域 \(t \geq t_1\geq t_2\geq\cdots\geq t_k \geq 0\) の積分値をとってくれば、
\[\int_0^t dt_1\int_0^t dt_2\cdots\int_0^t dt_k \mathcal{T}\left[H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k)\right] = k!\int_0^t dt_1\int_0^{t_1}dt_2\cdots\int_0^{t_{k-1}}dt_k H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k)\]
となるはずである。これで証明できた。
ともかく、(13)式を使うと、摂動展開は
\[U_I(t) = I + \sum_{k=1}^\infty \frac{(-i\lambda)^k}{k!} \int_0^t dt_1\int_0^t dt_2\cdots\int_0^t dt_k \mathcal{T}\left[H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k)\right] \tag{14} \]
と書けることになる。時間順序演算子を積分の外に出してしまえば、
\begin{align}
U_I(t) &= I + \mathcal{T}\left[\sum_{k=1}^\infty \frac{(-i\lambda)^k}{k!} \int_0^t dt_1\int_0^t dt_2\cdots\int_0^t dt_k H_I(t_1)H_I(t_2)\cdots H_I(t_k)\right]\\
&= I + \mathcal{T}\left[\sum_{k=1}^\infty \frac{(-i\lambda)^k}{k!} \left(\int_0^t dt_1H_I(t_1)\right)^k\right]\\
&= \mathcal{T}\left[\sum_{k=0}^\infty \frac{(-i\lambda)^k}{k!} \left(\int_0^t dt_1H_I(t_1)\right)^k\right]\\
&= \mathcal{T}\left[\exp \left(-i\lambda\int_0^t dt_1H_I(t_1)\right)\right]\tag{15}
\end{align}
を得る。これでネットなどで調べているとよく出くわす形の式が得られた。別にこんな風に書き換えたからと言って、特に計算しやすくなる等の恩恵があるわけでは無いのだが、時間に依存しない普通のシュレディンガー方程式
\[\frac{d}{dt}U_I(t) = HU_I(t)\]
の解が
\[U_I(t) = \exp(-iHt)\tag{16}\]
となることとのアナロジーはよく取れていると言えるだろう。時間に依存しないときは、特に時間の順序を考える必要が無いために(16)のように計算できたとも考えられる。
次は平均ハミルトニアンによる摂動論でも書こうかな。