1.最小不確定性の条件
前回、エルミート演算子\(A,B\)の間に成り立つ不確定性関係
\[\sqrt{\expect{\Delta A^2}_\psi}\sqrt{\expect{\Delta B^2}_\psi} \geq \frac{1}{2}\left|\expect{[A,B]}_\psi\right|\tag{1}\]
を証明した。ただし、
\[\Delta A = A-\expect{A}_\psi\tag{2}\]
\[\Delta B = B-\expect{B}_\psi\tag{3}\]
\[\expect{\cdot}_\psi = \bra{\psi}\cdot\ket{\psi}\tag{4}\]
であり、(1)は任意の状態\(\ket{\psi}\)に関して成り立つ不等式である。
前回の最後に見たように、最小の不確定性を持つ状態、つまり(1)の等号を成り立たせる状態\(\ket{\psi_m}\)は、適当な実数\(\lambda\)について、
\[\Delta B\ket{\psi_m} = i\lambda \Delta A\ket{\psi_m}\tag{5}\]
を満たすような状態である。
今回は\(A\)が位置演算子\(\hat{x}\)、\(B\)が運動量演算子\(\hat{p}\)であるような場合について、(5)式を解いて位置・運動量の最小不確定性状態を導出することを目標にする。結果だけ先に書くと、
\[\psi_m(x) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}}\exp\left(- \frac{(x-\expect{x})^2}{4\sigma_x^2} \right)\exp\left(i\frac{\expect{p}}{\hbar}x\right)\]
である。
2.計算
具体的に解いてみよう。状態ベクトル\(\ket{\psi_m}\)を位置表示したときの波動関数\(\psi_m(x) = \braket{x}{\psi_m}\)に対して、位置演算子\(\hat{x}\)は\(x\)をかけるという演算子となり、運動量演算子\(\hat{p}\)は微分演算子\(-i\hbar\frac{d}{dx}\)になる。
だから\(\psi_m(x)\)によって(5)式を書き直すと、
\[\left(-i\hbar\frac{d}{dx}-\expect{p}\right)\psi_m(x) = i\lambda (x-\expect{x})\psi_m(x)\tag{6}\]
となる。期待値の添字は省略した。
(6)式は簡単な微分方程式なので、すぐに解ける。一応丁寧に計算すると、
\begin{align}
\left(-i\hbar\frac{d}{dx}-\expect{p}\right)\psi_m &= i\lambda (x-\expect{x})\psi_m \\
-i\hbar\frac{d\psi_m}{dx} &= \left(i\lambda (x-\expect{x}) + \expect{p}\right)\psi_m \\
\frac{d\psi_m}{dx} &=\frac{1}{\hbar}\left(-\lambda (x-\expect{x}) + i\expect{p}\right)\psi_m \\
\int\frac{1}{\psi_m}d\psi_m &=\int\frac{1}{\hbar}\left(-\lambda (x-\expect{x}) + i\expect{p}\right)dx \\
\log \psi_m &=\frac{1}{\hbar}\left(-\lambda \frac{1}{2}(x-\expect{x})^2 + i\expect{p}x\right) + C \\
\psi_m(x) &= A \exp\left(- \frac{\lambda}{2\hbar}(x-\expect{x})^2 + i\frac{\expect{p}}{\hbar}x\right)\\
\end{align}
とガウシアン的な関数が得られる。見た目をきれいにするために、\(\frac{1}{4\sigma_x^2} = \frac{\lambda}{2\hbar}\)とすると、
\[\psi_m(x) = A \exp\left(- \frac{(x-\expect{x})^2}{4\sigma_x^2} \right)\exp\left(i\frac{\expect{p}}{\hbar}x\right)\tag{7}\]
となる。係数\(A\)は規格化条件をみたすように決めれば良い。具体的に、ガウシアンの積分公式
\[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/\lambda^2}dx = \lambda\sqrt{\pi}\]
を使いながら計算すると、
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty \psi_m\psi_m^* dx &= 1\\
A^2 \int_{-\infty}^\infty\exp\left(- \frac{(x-\expect{x})^2}{2\sigma_x^2} \right)dx &= 1\\
A^2 \sigma_x\sqrt{2\pi} &= 1\\
A &= \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}}
\end{align}
なので、結局求める波動関数は
\[\psi_m(x) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}}\exp\left(- \frac{(x-\expect{x})^2}{4\sigma_x^2} \right)\exp\left(i\frac{\expect{p}}{\hbar}x\right)\tag{8}\]
任意の\(\expect{x},\expect{p},\sigma_x\)に対して、(8)式が位置・運動量の最小不確定性を満たす波動関数だ。
3.補足：コヒーレント状態・スクイーズド状態との関連
量子光学の勉強をしていると、必ず現れる「コヒーレント状態」。レーザー光などを理論的に扱うときに登場する状態である。
コヒーレント状態\(\ket{\alpha}\)は消滅演算子\(\hat{a}\)の固有状態\(\hat{a}\ket{\alpha}=\alpha\ket{\alpha}\)である、として、天下り的に定義している教科書も多いだろう。
しかし、実は今回導出した最小不確定性を持つ状態 (の一部) が、まさにこのコヒーレント状態\(\ket{\alpha}\)になっているのだ。
最小不確定性状態を与える方程式
\[(\hat{x}-\expect{x})\ket{\psi_m} = i\lambda (\hat{p}-\expect{p}) \ket{\psi_m}\tag{9}\]
を少し変形してみると、
\[(\hat{x}+i\lambda\hat{p})\ket{\psi_m} = -(\expect{x}+i\lambda \expect{p}) \ket{\psi_m}\tag{10}\]
となる。ここで、\(\hat{x}\)や\(\hat{p}\)が適当に無次元化された位置演算子・運動量演算子だとすると、消滅演算子は
\[\hat{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x}+i\hat{p})\tag{11}\]
である。ということは、(10)において\(\lambda=1\)とすれば、
\[\hat{a}\ket{\psi_m} = -\frac{1}{\sqrt{2}}(\expect{x}+i\expect{p}) \ket{\psi_m}\equiv\alpha\ket{\psi_m}\tag{12}\]
を得る。この式から、コヒーレント状態は\(\lambda=1\)の場合の最小不確定性状態\(\ket{\psi_m}\)そのものであることがわかる。しかも、このとき\(\lambda =1\)だと\(x,p\)に関して対称的なので、どちらの不確定性も等しい状態である。コヒーレント状態の定義はこのことに基づいている。
\(\lambda=1\)でないものは、位置・運動量どちらかの不確定性が大きい状態で、スクイーズド状態と呼ばれる。