共変微分の座標変換
前回導出した
共変微分
が本当にテンソルになっているか確認しよう。ベクトル\(v^i\)の共変微分は
\[v^i_{~;j} = \frac{\partial v^i}{\partial x^j} + v^k\Gamma^i_{~kj}\tag{1}\]
であった。\(x\)系から\(x'\)系への座標変換でこれがどのように変化するか、一項ずつ順に考えていく。
まず\(\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\)から。これはそんなに面倒くさくはない。
\begin{align}
\frac{\partial v'^i}{\partial x'^j} &= \frac{\partial x^k}{\partial x'^j}\frac{\partial}{\partial x^k}\left(\frac{\partial x'^i}{\partial x^l} v^l\right) \\\\
&= \frac{\partial x^k}{\partial x'^j}\frac{\partial^2 x'^i}{\partial x^k\partial x^l}v^l + \frac{\partial x^k}{\partial x'^j}\frac{\partial x'^i}{\partial x^l}\frac{\partial v^l}{\partial x^k}
\end{align}
と、これで終わりだ。ただChristoffel記号についてはこんなに簡単には行かない。
Christoffel記号は
\[\Gamma^k_{~ij} = \frac{g^{kl}}{2}\left(\frac{\partial g_{li}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\right)\]
こうだった。(
Gauss-Codazziの式参照。)これの座標変換をがんばって計算していく。
\begin{align}
\Gamma'^i_{~kj} = \frac{g'^{il}}{2}\left(\frac{\partial g'_{lk}}{\partial x'^j} + \frac{\partial g'_{jl}}{\partial x'^k} - \frac{\partial g'_{kj}}{\partial x'^l}\right)
\end{align}