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熱伝導方程式の導出


1.フーリエの法則

一応熱力学のカテゴリーにこの記事をいれてしまったが、熱力学は基本的に平衡状態を扱う学問で、熱の移動がどういうふうに行われるかに関しては全く気にしない。どちらかと言うと熱伝導は非平衡統計力学というカテゴリに入るものだ。ただ非平衡統計力学なんて難しすぎてまだ理解できていないから、とりあえずここに書く。

そんなことはともかく、熱伝導の基本となる式は

フーリエの法則

である。それは、以下の様な形で書かれる。温度をT、単位面積を単位時間あたりに横切る熱量をJとすると、 \[\b{J}\propto -\grad T\tag{1}\] つまり、熱流の大きさは温度の傾き(勾配)に比例するという法則だ。直感的には明らかじゃないだろうか。温度の変化がないところでは熱の流れはないし、温度の変化が大きければ大きいほど、熱の流れが大きくなるという式だ。マイナスが付いているのは、温度の高いところから低いところに熱が流れることを示している。

ただ、直感的にはこれでいいのかもしれないが、これをミクロな視点から導出するのはなかなか難しい。ここでは扱わないが、非平衡統計力学の本でも読めばのっているはずだ。一応量子力学から導くことができるらしい。

で、普通は(1)式の比例定数を\(\kappa\)として、 \[\b{J}=-\kappa\grad T\tag{2}\] とかく。この\(\kappa\)が

熱伝導率

と呼ばれる量である。

2.エネルギー保存則と熱伝導方程式

(2)式で表される熱流について、エネルギー保存則を考えていこう。

考えている物体の比熱をc、密度を\(\rho\)とすると、体積あたりの熱容量は\(c\rho\)になる。だから、その物体の微小領域\(dV\)を取り出した時にそこにあるエネルギーは、\(c\rho T dV\)になる。したがって適当な領域Vのエネルギーは、\(\int_V c\rho T dV\)で与えられる。

その時間変化について考えると、エネルギー保存則から、 \[(Vの中のエネルギーの時間変化)=(Vの表面Sから流れ込むエネルギー)+(Vでの発熱量)\tag{3}\] となるはずだ。Vに流れ込むエネルギーは、熱流\(\b{J}\)を使って、\(-\int_S\b{J}\cdot\b{S}\)と書けるだろう。さらにある位置での単位体積あたりの発熱量を\(f\)とすれば、(3)は \[\frac{d}{dt}\int_V c\rho TdV=-\int_S\b{J}\cdotd\b{s}+\int_V fdV\tag{4}\] とかけるだろう。ベクトル解析のガウスの法則 \[\int_S\b{J}\cdot\b{S}=\int\Div\b{J}dV\tag{5}\] を使えば、 \[\frac{d}{dt}\int_V c\rho TdV=-\int_V\Div\b{J}dV+\int_V fdV\tag{6}\] である。これが任意の領域について成り立つためには、 \[\frac{\partial (c\rho T)}{\partial t}=-\Div\b{J}+f\tag{7}\] この(7)に(2)の熱流の式を代入すれば、 \[\frac{\partial (c\rho T)}{\partial t}=\Div(\kappa\grad T)+f\tag{8}\] これが温度Tが満たすべき微分方程式であり、これが

熱伝導方程式

だ。一般には、\(c,\rho,\kappa\)が時間や位置によらないものとして、 \[c\rho\frac{\partial T}{\partial t}=\kappa\nabla^2 T+f\tag{9}\] という(9)式が熱伝導方程式と呼ばれることが多いだろう。(9)式は、実は粒子の濃度が一般的に満たす拡散方程式と全く同じ形をしている。これが物理的にどんな意味があるのか思いを巡らせるのもおもしろい。

3.熱伝導方程式の解

熱伝導方程式(9)は、物理的に考えて直感的に、ある初期条件と境界条件を与えれば、一意に解が得られる。

色々な境界条件や初期条件によって、解き方がたくさんあるから、これは微分方程式のページでその解法をメモしておく。