1.球座標でのラプラス方程式
ラプラシアンを使った方程式というのは、物理の色々な方面で現れる重要な方程式である。例えば電磁気学では、ある電荷密度分布\(\rho\)が与えられたとき、電位\(\phi\)は
\[\Delta\phi = -\frac{\rho(\b{r})}{\epsilon_0}\]
という方程式を解くことによって求まる。また、普通の力学でも、波動方程式というのがあって、
\[\Delta\phi = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2}\]
が一般的な波を表せる方程式として重要だ。他にもシュレディンガー方程式とかがあるが、とりあえず今回は、球座標でのラプラシアン
\[\Delta=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\]
の角度成分
\[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\]
の解について考えることにする。
2.変数分離
今から考えるのは、
\[\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)f(\theta,\phi)=\lambda f(\theta,\phi)\]
を解くことだ。まずは\(f\)を変数分離して
\[f(\theta,\phi)=g(\theta)h(\phi)\]
とする。これを代入すると、
\begin{align}
\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right)g(\theta)h(\phi)&=\lambda g(\theta)h(\phi) \\
\frac{h(\phi)}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)g(\theta) + \frac{g(\theta)}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}h(\phi)&=\lambda g(\theta)h(\phi) \\
\frac{\sin\theta}{g(\theta)}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)g(\theta)+ \frac{1}{h(\phi)}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}h(\phi)&=\lambda \sin^2\theta\\
\frac{\sin\theta}{g(\theta)}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)g(\theta)-\lambda\sin^2\theta &=-\frac{1}{h(\phi)}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}h(\phi)
\end{align}
これで左辺は\(\theta\)だけの関数、右辺は\(\phi\)だけの関数となった。この等式が成り立つのは、どちらともがある定数になっているときのみである。その定数を\(M\)と書くことにすると、
\begin{align}
\frac{\sin\theta}{g(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d}{d\theta}\right)g(\theta)-\lambda\sin^2\theta &= M\\
-\frac{1}{h(\phi)}\frac{d^2}{d \phi^2}h(\phi) &= M
\end{align}
という２つの微分方程式に分ける事ができる。
3.\(\phi\)の微分方程式を解く
\[-\frac{1}{h(\phi)}\frac{d^2}{d \phi^2}h(\phi) = M\]
を解くのはすぐにできる。
\[\frac{d^2}{d \phi^2}h(\phi) = -Mh(\phi)\]
だから\(M=m^2\)とおくと、(この時点ではmは複素数の可能性もある)
\[h(\phi)=e^{im\phi}\]
が固有解となる。
ところで、球座標系の\(\phi\)というのは\(0\leq\phi\leq2\pi\)で、\(\phi=2\pi\)では一周して同じ点に戻ってくるから、必ず、
\[h(0)=h(2\pi)\]
が成り立っていないといけない。したがって、
\[1=e^{i2\pi m}\]
であり、これが成り立つためには、\(m\)は必ず整数でなければいけないのだ。
これで\(\phi\)の方程式を解くのは終わり。
4.\(\theta\)の微分方程式を解く
こちらはとてもめんどくさそうだ。
\[\frac{\sin\theta}{g(\theta)}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d}{d\theta}\right)g(\theta)-\lambda\sin^2\theta = m^2\]
さて、\(\sin\)がたくさん出てきて気持ち悪いから、\(x=\cos\theta\)と変数変換しよう。
なぜ\(\sin\theta\)でなくて\(\cos\theta\)を使うのかといえば、しっかりとした理由がある。
一般的な球座標系では\(0\leq\theta\leq\pi\)とするから、こういうときに\(\theta\)と\(x\)の間に一対一対応をつけるなら、\(\cos\theta\)を使わないといけないのだ。もし変域が\(-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2\)だったりしたら、\(x=\sin\theta\)のような変数変換をしないとうまくいかない。
で、このとき一階微分は
\begin{align}
\frac{d}{d\theta} &= \frac{dx}{d\theta}\frac{d}{dx} \\
&= -\sin\theta\frac{d}{dx}
\end{align}
となる。右辺に\(\theta\)が残っていると困るから、\(x=\cos\theta\)だったから\(\sin\theta=\sqrt{1-x^2}\)をつかって、
\[\frac{d}{d\theta} = -\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}\]
これを代入して計算していこう。
\[
\frac{\sqrt{1-x^2}}{g}\left(-\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}\right)\left(\sqrt{1-x^2}\left(-\sqrt{1-x^2}\frac{dg}{dx}\right)\right)-\lambda(1-x^2) = m^2 \\
\frac{1-x^2}{g}\left(\frac{d}{dx}\right)\left((1-x^2)\frac{dg}{dx}\right)-\lambda(1-x^2) = m^2 \\
\frac{1-x^2}{g}\left((1-x^2)\frac{d^2g}{dx^2}-2x\frac{dg}{dx}\right)-\lambda(1-x^2) = m^2 \\
(1-x^2)^2\frac{d^2g}{dx^2}-2x(1-x^2)\frac{dg}{dx}-\left(\lambda(1-x^2) + m^2\right)g = 0\\
(1-x^2)\frac{d^2g}{dx^2}-2x\frac{dg}{dx}-\left(\lambda - \frac{m^2}{1-x^2}\right)g = 0
\]