1.ノイマン問題とは
ノイマン問題とは、境界条件として求めたい関数\(f(x,t)\)の微分を与える問題のことをいう。熱伝導方程式では、境界での熱流の量を固定することに相当する。具体的には以下のような問題になる。
\[\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+q(x,t)\\
\left\{\begin{align}
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=0}&=a(t) \\
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=L}&=b(t) \\
f(x,t=0)&=u(x)
\end{align}\right.\tag{1}\]
前回と
前々回でかなり一般的なディリクレ問題を解いているから、今回は最初から非同次の問題を解いていく。
2.境界条件の同次化
まずは(1)式の境界条件を同次化する、つまり境界条件の右辺を0にすることを考えてみよう。前回やったディリクレ問題では、適当な関数をたしてやればよかったから、今回もそういうことをやる。(1)の境界条件を0にするには、以下のようにすればいい。
\[f(x,t)=g(x,t)+\frac{b(t)x^2-a(t)(L-x)^2}{2L}\tag{2}\]
これを(1)に代入すると、
\[\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{b(t)-a(t)}{L}+q(x,t)\\
\left\{\begin{align}
\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{x=0}&=0 \\
\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{x=L}&=0 \\
g(x,t=0)&=u(x)-\frac{b(0)x^2-a(0)(L-x)^2}{2L}
\end{align}\right.\tag{3}\]
というふうに\(g(x,t)\)に関して境界条件が0であるような問題が得られる。そこで
\[Q(x,t)=\frac{b(t)-a(t)}{L}+q(x,t),~~v(x)=u(x)-\frac{b(0)x^2-a(0)(L-x)^2}{2L}\tag{4}\]
と置きなおせば
\[\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+Q(x,t)\\
\left\{\begin{align}
\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{x=0}&=0 \\
\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{x=L}&=0 \\
g(x,t=0)&=v(x)
\end{align}\right.\tag{5}\]
という方程式が得られる。ここまでからわかるように、(5)を解けば(1)の解が分かったことになるから、ここからは(5)を解くことが目標だ。
3.解
前回に引き続き、今回も
固有関数展開
によって解を求める。
前々回同次型のディリクレ問題を解いた時を参考にしながら少し計算すれば、同次型のノイマン問題
\[\frac{\partial g}{\partial t}=\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}\\
\left\{\begin{align}
\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{x=0}&=0 \\
\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{x=L}&=0 \\
g(x,t=0)&=v(x)
\end{align}\right.\tag{6}\]
の解は
\[g(x,t)=\sum_n G_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\exp\left[-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t\right]\tag{7}\]
の形になることがわかるだろう。
そこで前回にならって、目標である方程式(5)の解として、
\[g(x,t)=\sum_n G_n(t)\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\tag{8}\]
を仮定しよう。これを(5)に代入すると、前回とほとんど同じように、
\[\sum_n \left[\frac{dG_n}{dt}+\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2G_n\right]\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=Q(x,t)\tag{9}\]
という\(G_n\)に関する方程式を得る。さらに前回と同じように、今回は\(\cos(m\pi x/L)\)をかけて積分すれば、
\[\[\frac{dG_m}{dt}+\left(\frac{m\pi}{L}\right)^2G_m=\frac{2}{L}\int_0^L Q(x,t)\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)dx\tag{10}\]\]
ここで
\[Q_m(t)=\frac{2}{L}\int_0^L Q(x,t)\cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)dx\tag{11}\]
とでもおいておこう。(10)の右辺は適当なtの関数になっているが、１階の微分方程式だから、とくに問題なく解ける。つまり、
\[G_m(t)=\exp\left[-\left(\frac{m\pi}{L}\right)^2 t\right]\left\{\int_0^t Q_m(\tau)\exp\left[\left(\frac{m\pi}{L}\right)^2 \tau\right]dt+C_m\right\}\tag{12}\]
(\(C_n\)は任意定数。)となる。最後に初期条件\(g(x,t=0)=v(x)\)にあるように任意定数を決めてやれば
\[\begin{align}
g(x,t)=\sum_n &\frac{2}{L}\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\exp\left[-\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 t\right]\times \\
&\left\{\int_0^t\int_0^L q(y,\tau)\cos\left(\frac{n\pi y}{L}\right)\exp\left[\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2 \tau\right]dyd\tau+\int_0^L v(y)\cos\left(\frac{n\pi y}{L}\right)dy\right\}\end{align}\tag{13}\]
となる。
今回は、ほとんど前回と同じ計算になるからほとんど詳しい計算を省略してしまった。詳しい計算が気になる人は、前回を読めば載っているからそうしてほしい。