アーベルの恒等式
論文を読んでいたときに、
Wronskian identityという言葉が現れて、これが
アーベルの恒等式 (Abel's identity) と呼ばれている公式を指していることを知ったのだが、「アーベルの恒等式」で検索しても日本語の記事がなかったので書くことにした。
アーベルの恒等式とは、関数 \(y(x)\) に関する微分方程式
\begin{align}
y'' + p(x) y' + q(x) =0 \tag{1}
\end{align}
の独立な解 \(y_1, y_2\) を使って定義したロンスキアン
\begin{align}
W(x) &= \left|
\begin{array}{cc}
y_1(x) & y_2(x) \\
y_1'(x) & y_2'(x)
\end{array}
\right|\\
&= y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x)
\end{align}
に関して成り立つ次の等式である。
\begin{align}
W(x) =
\end{align}
この記事はこれを証明するだけの記事。
証明
証明は簡単で、\(W(x)\) が従う微分方程式を導くだけである。
\(W(x)\)を微分してみると
\begin{align}
W'(x) &= (y_1(x) y_2'(x))' - (y_1'(x) y_2(x))' \\
&= y_1'(x) y_2'(x) + y_1(x) y_2''(x) - (y_1'(x) y_2'(x) + y_1''(x) y_2(x)) \\
&= y_1(x) y_2''(x) - y_1''(x) y_2(x)
\end{align}
さて、ここでもとの微分方程式から
\begin{align}
y'' = - p(x) y' - q(x)
\end{align}
なので、これを代入すると
\begin{align}
W'(x) &= y_1(x) (- p(x) y_2'(x) - q(x)) + (p(x) y_1'(x) + q(x)) y_2(x) \\
&= - p(x) (y_1(x) y_2'(x) - y_1'(x) y_2(x))\\
&= - p(x) W(x)
\end{align}
を得る。\(y_1, y_2\) は二階の微分方程式に従うのに対して、そのロンスキアンが簡単な一階の微分方程式に従うのだ。微分方程式の解法を勉強したことがある人なら、この方程式は簡単に解けるだろう。\(W(x)\) の解は、
\begin{align}
W(x) = W(x_0) \exp\left(-\int_{x_0}^x p(s) ds\right)
\end{align}
で与えられる。
論文で出てきたのは、特に\(p(x)=0\)の場合だった。このときはロンスキアンが定数、すなわち微分方程式の保存量となるため、このロンスキアンによって解を調べるのが便利らしい。
一般化
これは次のように一般化できる。次のような \(n\) 階微分方程式を考えよう。
\begin{align}
\sum_{i=1}^n p_{i}(x) y^{(i)}(x) + q(x) =0 \tag{2}
\end{align}
ただし \(p_{n}(x)=1\) とする。このとき、独立な解 \(y_1\cdots y_n\)を使ってロンスキアンを
\begin{align}
W(x)=\left|\begin{array}{cccc}{y_{1}(x)} & {y_{2}(x)} & {\cdots} & {y_{n}(x)} \\ {y_{1}^{\prime}(x)} & {y_{2}^{\prime}(x)} & {\cdots} & {y_{n}^{\prime}(x)} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {y_{1}^{(n-1)}(x)} & {y_{2}^{(n-1)}(x)} & {\cdots} & {y_{n}^{(n-1)}(x)}\end{array}\right|
\end{align}
と定義すると次が成り立つ。
\begin{align}
W(x) = W(x_0) \exp\left(-\int_{x_0}^x p_{n-1}(s) ds\right)
\end{align}
証明は全く同じように微分方程式を導けば良く、単なる計算になるのでここでは書かない。